О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа - page 14

Э.М. Карташов
14
       2 2
, 1 ln const T x y x x x y dx


           .
Для круга 0 , r R   0 2     функция  , T r  удовлетворяет
уравнению (35) и граничному условию
    ,
r R
T r
r 
    

, 0 2     .
Функция   * , , G r   удовлетворяет уравнению (45) и гранично-
му условию
   
* , , 1
r r
G r
r R

         

.
Искомое решение  , T r  имеет вид (29) (интеграл Дини)
     
   
2
*
0
2 2 2
2
0
, , ,
2 cos 1 ln const.
2
r R
T r
T r R G r d
r
r Rr R
R d
R



     
       
 
  
     
      



Ограниченным решением внешней задачи (при r R ) для урав-
нения (35) с граничным условием     ,
r R
T r
r 
 
  
 , 0 2    
является интеграл вида
      2 2 2
2
0
2 cos
, ln const
2
r Rr R R
T r d
r
             
  .
Рассмотренный подход касался краевых задач для уравнения
Лапласа. Для уравнения Пуассона     0, T M F M    M D оста-
ются в силе классические представления теории уравнений эллипти-
ческого типа.
Заключение. Краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнения
Лапласа на плоскости принадлежат к числу достаточно трудных слу-
чаев для исследований. Несмотря на развитую теорию решения урав-