О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана
7
Таким образом, интегральные представления аналитических ре-
шений краевых задач Дирихле (1), (2) и Неймана (1), (3) теперь могут
быть записаны в виде:
задача Дирихле
*
,
,
,
, ,
x y Г
Г
T x y
T x y G x y x
dl
,
(22)
задача Неймана
*
,
,
,
, ,
.
Г
x y Г
T x y
T x y
G x y x
dl
n
(23)
Построение функции
*
, ,
G x y x
значительно проще по сравне-
нию с процедурой нахождения полного выражения для функции
Грина
, , ,
G x y x y
.
Рассмотрим ряд иллюстративных примеров для классических об-
ластей, описанных в литературе по математической физике.
Пусть
D –
полуплоскость
0
y
, на границе
0
y
задано условие
(задача Дирихле)
0
,
,
y
T x y
x
.
x
(24)
Функция Грина для полуплоскости
0
y
найдем, предваритель-
ного решив задачи (7) – (8), и получим [4]
*
, , ,
ln 1 ln 1
G x y x y
r
r
,
(25)
где
2
2
r
x x
y y
,
2
2
*
r
x x
y y
.
Выражение (25) находим методом отражения. Интеграл (4) и вы-
ражение (25) дают решение указанной задачи в виде интеграла Пуас-
сона для полуплоскости:
2 2
,
.
x
y
T x y
dx
x x y
(26)
Не менее громоздка процедура построения функции Грина
, , ,
G x y x y
, если исходить из определения (8), (9):
