О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана
5
для задачи Дирихле
,
p
p
Г
P Г
G M P
T M T P
dl
n
(12)
и для задачи Неймана
,
p
p
Г
P Г
T P
T M
G M P dl
n
.
(13)
В интегральных выражениях (12), (13) важно иметь в виду
направление нормали при записи нормальной производной в кон-
кретной системе координат, если учесть что в литературе по матема-
тической физике существуют разночтения в знаках в приведенных
аналитических решениях задач Дирихле и Неймана. Дальнейшее
упрощение процедуры нахождения аналитических решений в виде
интегральных соотношений (12) и (13) заключается в том, что в (12)
и (13) нет необходимости искать полное выражение для функции
Грина
, , ,
G x y x y
путем решения задач (8), (9) или (8), (10). Дей-
ствительно, введем новую функцию
*
, ,
G x y x
как решение
в случае задачи Дирихле
2 *
2 *
2
2
0
G G
x
y
,
,
x y D
,
*
,
, ,
;
x y Г
G x y x
x x
в случае задачи Неймана
2 *
2 *
2
2
0
G G
x
y
,
,
,
x y D
(14)
*
,
, ,
x y Г
G x y x
x x
n
.
Применим формулу Грина (11) к функциям
, , ,
G x y u y
и
*
, ,
G u y x
, удовлетворяющим следующим условиям:
