Э.М. Карташов
2
точных аналитических решений классических краевых задач Дирих-
ле и Неймана для уравнения Лапласа. Последнее касается ряда об-
ластей, наиболее часто встречающихся в практических приложени-
ях: бесконечная или полубесконечная полоса, полуплоскость или ее
четверть, прямоугольник, круг или его внешность, части круга,
кольцо, области в параболической, эллиптической и биполярной си-
стемах координат. Следует подчеркнуть, что двумерные задачи Ди-
рихле и Неймана могут быть точно решены только для сравнитель-
но простых областей [6]. Полученные в настоящей статье результа-
ты позволяют предвидеть интересные перспективы в дальнейшем
развитии аналитической теории краевых задач для уравнений эл-
липтического типа.
Постановка задачи.
Пусть
D –
конечная или частично ограни-
ченная выпуклая область изменения
М
(
х, y
);
Г –
кусочно-гладкий
контур, ограничивающий область
D
;
n
– внешняя нормаль к
Г
,
вектор, непрерывно меняющийся на
Г
. В области
D
ищется гармо-
ническая функция
2
0
,
T x y C D C D
,
0
grad
M
T M C D
,
D D Г
удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри
D
2
2
2
2
0
T T
x
y
,
,
,
x y D
(1)
а на границе
Г
граничным условиям вида (задача Дирихле)
,
,
,
,
x y Г
x y Г
T x y
x y
(2)
либо (задача Неймана)
,
,
,
,
x y Г
x y Г
T x y
x y
n
.
(3)
Задача Дирихле (1) – (2) везде имеет решение при некоторых
весьма общих предположениях относительно
Г
и
, .
x y
Это реше-
ние имеет вид [3]
,
, , ,
1
,
,
,
2
Г
x y Г
G x y x y
T x y
x y
dl
n
(4)
если известна функция Грина
, , ,
G x y x y
.
