О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана
1
УДК 536.2.001.24
О новом подходе в методе функций Грина
при решении краевых задач Дирихле и Неймана
для уравнения Лапласа
© Э.М. Карташов
Московский государственный университет тонких химических
технологий им. М.В. Ломоносова, Москва, 119571, Россия
Описан новый подход в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле
и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости. В основе метода лежит построе-
ние «усеченной» функции Грина, что является достаточным для записи аналити-
ческого решения задачи.
Ключевые слова:
уравнение Лапласа на плоскости, задачи Дирихле и Неймана,
функция Грина, интегральные записи аналитических решений.
Введение.
Уравнения эллиптического типа, к которому относит-
ся уравнение Лапласа, играют важную роль в приложениях. К ним
приводят задачи о потенциальном движении несжимаемой жидкости,
потенциале электростатического поля, стационарных тепловых и
диффузионных процессах, потенциальном поле тяготения, а также
задачи аэромеханики, теории упругости, электромагнетизма, дифрак-
ции и др.
Для линейных эллиптических уравнений второго порядка и, в
частности, для уравнения Лапласа задачи Дирихле и Неймана явля-
ются основными краевыми задачами. Они детально разобраны в мно-
гочисленных руководствах по математической физике, в монографи-
ях по теории ньютоновского потенциала, публикациях, касающихся
применения соответствующих интегральных соотношений к изуче-
нию конкретных физических процессов. Для нахождения точных
решений указанных задач существуют различные аналитические
подходы, в основе которых лежат: теория потенциала и метод инте-
гральных уравнений, метод отражения, метод конформных отобра-
жений, метод разделения переменных, метод интегральных преобра-
зований, основанный на теории спектральных задач, метод разложе-
ния искомого решения в соответствующие ряды, функции единичных
источников и диполей [1–5]. И как это ни странно, но в столь, каза-
лось, завершенной области математической физики еще остались
«математические резервы» для переосмысления основ некоторых
развитых аналитических подходов, в частности, метода функций
Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения
Лапласа на плоскости. Следствием последнего является существен-
ное сокращение технических трудностей, связанных с нахождением
