О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа - page 3

О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана
3
Для задачи Неймана (1), (3) функция  , x y  на кривой Г не мо-
жет быть задана произвольно. Условием существования задачи
Неймана является выполнение равенства
   
, , 0
x y Г
Г
x y dl
         ,
если D – замкнутая ограниченная область с кусочно-гладкой грани-
цей Г, или если рассматриваемая бесконечная область имеет ко-
нечную границу.
При этом очевидно, что вместе с любым решением  , T x y ре-
шением будет также  , const. T x y  Можно доказать, что других ре-
шений задача Неймана не имеет, т. е. разность двух любых решений
задачи Неймана постоянна. Это означает, что решение задачи Ней-
мана единственно с точностью до аддитивной постоянной и может
быть представлено в виде
       
,
1
, , , , , const.
2 x y Г
Г
T x y x y G x y x y dl
  
          
 
  (5)
Согласно теории краевых задач, для уравнения (1) входящая в (4),
(5) функция Грина  
, , , G x y x y  находится с использованием фунда-
ментального решения    
, , , ln 1 q x y x y r    ,     2 2
r x x y y      
для уравнения (1) и записывается в виде
      , , , , , , , , , G x y x y W x y x y q x y x y        ,
где   , , , W x y x y  удовлетворяет условиям
0
M W   ,  , x y D , (6)
       
, , , , , , , ,
x y Г x y Г W x y x y q x y x y
       (7)
в случае задачи Дирихле и
0
M W   ,  , x y D ,
 
 
 
 
, ,
, , , , , ,
x y Г x y Г
W x y x y q x y x y
n n  
     

 
в случае задачи Неймана.