Безнапорное заполнение капилляра в асимптотической теории смачивания
9
формироваться тонкая пленка жидкости постоянной толщины
.
w w R
∗ ∗
= = ξ
Толщина остающейся на твердой поверхности плен-
ки
w
∗
однозначно связана со скоростью движения границы .
f
x
Если
0,
f
x
→ −
то решение, как и при
0,
f
x
→ +
переходит в ре-
шение для неподвижной жидкости:
0
p
≈
для всех
.
w R
∼
Из-за наличия узкого переходного слоя вблизи линии трехфазно-
го контакта при растекании жидкости
0
f
x
>
угол наклона свободной
поверхности при наблюдении может восприниматься как динамиче-
ский, т. е. зависящий от скорости растекания, краевой угол. Этот угол
можно также назвать «макроскопическим» углом смачивания
d
α
в
отличие от реального «микроскопического» угла смачивания, кото-
рый в рамках развиваемой теории всегда равен равновесному углу
смачивания
.
e
α
Трудность строгого определения динамического угла смачивания
d
α
состоит в том, что внутреннее асимптотическое представление
для угла наклона свободной поверхности не стремится к конечному
пределу на внешней границе слоя. Несмотря на это, закон нарастания
угла наклона свободной поверхности жидкости с увеличением тол-
щины жидкого слоя
w
— «слабый», близкий к логарифмическому.
Поэтому приближенно в качестве динамического угла смачивания
d
α
можно определить угол наклона свободной поверхности жидко-
сти при некоторой фиксированной толщине жидкой пленки:
0
|
,
d
w w
w
η =
′
α =
где
0
1.
R w
Для проведения конкретных расчетов представляет интерес
найти простое приближенное соотношение, определяющее динами-
ческий краевой угол в зависимости от скорости растекания.
Рассмотрим уравнение вида
2
1 2
3
2
1
0,
2
f
x
p
p
R
w w w w
∂
∂
⎛ ⎞
+
+ =
⎜ ⎟
∂
∂
α
⎝ ⎠
которое совпадает с уравнением (11) как при
0,
p
→
так и
при
2
,
e
p
α
1
,
w R
2
1
2 .
e
R R
= α
Выше показано, что закон изме-
нения угла наклона свободной поверхности
α
с толщиной жидкого
слоя близок к логарифмическому. Поэтому приближенно можно счи-
тать угол
α
в этом уравнении параметром. Это уравнение интегриру-
ется один раз и приводится к линейному дифференциальному урав-
нению первого порядка:
1 3
1
( ).
2
f
x
p
p R
C t
w w w
∂
⎛ ⎞
+
+ =
⎜ ⎟
∂
α
⎝ ⎠
(13)
