А.С. Романов, А.В. Семиколенов
10
Характер особой точки
0
p w
= =
уравнения (13) может быть ис-
следован методом изоклин или аналитически методом соприкасаю-
щихся парабол [6]. Проведенный таким образом анализ показывает,
что особая точка
0
p w
= =
является седлом и существует единствен-
ная интегральная кривая, проходящая через особую точку вне зави-
симости от знака производной (
0
f
x
>
либо
0)
f
x
<
при разумных
значениях постоянной интегрирования
( ).
C t
Соответствующее этой
интегральной кривой решение уравнения (13) записывается так:
(
)
2
1
exp
,
f
C
x
p
R w p
−
= −
−
+
α
где
C
p
— решение уравнения (13) при значении скорости растекания
0,
f
x
=
оно задается формулой
(
)
(
)
2 1
1
2
1
1
1
2
2
4
.
R w
C
p Cw e
C C Erf
R w R Ei R w
−
−
−
⎡
⎤
= +
− π − ⋅
− ⋅
−
⎣
⎦
Здесь обозначено:
(
)
1
1
Erf
R w
−
— интеграл ошибок;
(
)
2
1
Ei R w
−
−
—
интегральная показательная функция [7].
Вдали от линии трехфазного контакта, т. е. при
1
,
w R
из по-
следнего соотношения получаем асимптотически справедливую
формулу для функции
( ),
p w
определяющую угол наклона свободной
поверхности жидкости в зависимости от толщины слоя жидкости и
скорости перемещения линии трехфазного контакта
0:
f
x
>
(
)
2
1
ln (
)
( ),
f
p x
R w O w
−
α = − γ +
+
1
1
.
w R
Если теперь, в соответствии с данным выше определением динами-
ческого краевого угла, фиксировать толщину жидкого слоя в послед-
нем соотношении, то получим
(
)
2 2
d d
e
f
x
α α − α = θ
,
(
)
2
1 0
ln (
) 0,
R w
−
θ = − γ +
>
0
1
const
.
w
R
=
(14)
Из последнего соотношения следует, что если выполнено сильное
неравенство
2
2
,
d
e
α α
то
3
.
d
f
x
α ≈ θ
Это соотношение совпадает с
законом Таннера [4], хорошо подтвержденным экспериментально.
Если же, наоборот,
2
2
,
d
e
α →α
то получим
2
2
,
2
d
e
f
e
x
θ
α = α +
α
что
подтверждается и численным экспериментом, и общими физически-
ми соображениями. Помимо этого из соотношения (14) следует, что
неопределенная безразмерная величина
const 0
θ = >
имеет порядок
