А.С. Романов, А.В. Семиколенов
12
В рассматриваемом приближении скорость жидкости определя-
ется в зависимости от поперечной координаты
y
и времени
t
:
( )
2
2
1 ,
.
2
4
dP H
v y t
y
dx
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
μ
⎝
⎠
Соответственно объемный расход жидкости ( ),
Q t
рассчитанный на
единицу ширины капилляра, становится равным
3
1 1
.
12
dP
Q
H
dx
= −
η
Предположим, что изменение формы мениска происходит гораз-
до медленнее, чем заполнение капилляра. Основанием этому может
служить сравнение пределов изменения глубины мениска и длины
смоченной части капилляра. Глубина мениска может меняться в пре-
делах поперечного размера капилляра, тогда как пределы изменения
размера смоченной части капилляра не ограничены. При этом пред-
положении скорость всех точек поверхности мениска практически
одинакова и равна скорости заполнения капилляра. Таким образом,
для расхода жидкости через сечение капилляра получаем оценку
2 .
f
Q Hx
=
Приравнивая оба выражения для расхода жидкости, получаем
( )
2
1 cos .
6
f
d
d x
H
dt
σ =
α
μ
(17)
Уравнения (16), (17) полностью определяют закон заполнения капил-
ляра частично смачивающей жидкостью.
Представляет интерес найти асимптотические законы заполнения
капилляра при малых и больших временах. Для этого исключим про-
изводную
f
x
из соотношений (16), (17). Тогда получим
(
)
2 2
4
cos
.
d
f d
e
d
x
α = α α − α
θ
(18)
Если теперь положить
0
f
x
→
в (18), что, очевидно, соответствует
малым временам после начала заполнения капилляра, то получим
cos
/ 2,
d
α ≈ π
а соответствующий асимптотический закон будет
иметь вид
2
4
,
24 2
f
e
t
x
⎡
⎤
π π
σ
⎛ ⎞
=
− α
⎢
⎥
⎜ ⎟
θ
μ
⎝ ⎠ ⎢
⎥
⎣
⎦
0.
t
→
