А.С. Романов, А.В. Семиколенов
6
производную по времени
t
w
′
из уравнения (5) и проинтегрируем за-
тем с учетом второго из условий (6). В результате получим обыкно-
венное дифференциальное уравнение, описывающее форму свобод-
ной поверхности жидкости в зависимости от скорости перемещения
границы:
4
3
3
4
3
2
0.
f
e
x
w w
w
R
x
w
−
⎧
⎫
⎡
⎤
⎛ ⎞
∂ ∂
∂
∂
⎪
⎪
⎢
⎥
− + η
− α + =
⎨
⎬
⎜ ⎟
∂η ∂η ∂
∂η
⎢
⎥
⎝ ⎠
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
(7)
Здесь координата
( )
f
x t x
η = −
отсчитывается от границы внутрь
жидкости (см. рис. 1). Важно отметить, что в случае бегущей волны,
когда
const
f
x
=
и ( , )
( ),
w x t
w
= η
уравнение (7) является точным
следствием соотношений (5), (6).
Учет расклинивающего давления в (7) является принципиально
важным и позволяет полностью решить проблему выполнения усло-
вия Юнга на движущейся линии трехфазного контакта [3].
Уравнение (7) достаточно полно может быть проанализировано
только численно. Наибольший интерес представляет область вблизи
линии трехфазного контакта, в которой роль расклинивающего дав-
ления существенна, т. е. при
0,
w
→
0.
η→ +
Для выяснения относи-
тельной роли слагаемых в уравнении (7) в указанной области перей-
дем к новым переменным
w
,
η →
w
R
ξ =
,
R
η δ =
. Тогда уравнение
(7), в пренебрежении величинами ( ),
O R
преобразуется к виду
4
3
3
4
3
2
0
f
e
x
−
⎧
⎫
⎡
⎤
∂ ξ ∂
∂ξ
⎪
⎪
⎛ ⎞
+ ξ
− α + =
⎢
⎥
⎨
⎬
⎜ ⎟
∂δ ∂δ
∂δ
ξ
⎝ ⎠ ⎢
⎥
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
.
(8)
Независимая переменная
δ
является внутренней переменной для
рассматриваемой малой области жидкости вблизи линии трехфазного
контакта. Интегральная кривая, проходящая через особую точку
уравнения (8), должна быть «сшита» с соответствующим решением
уравнения (8) при
R
= 0 и
δ
1.
Если считать, что кривизна поверхности жидкости
(1)
w O
ηη
′′ =
вдали от границы пленки, т. е. когда
1,
w
∼
1,
η
∼
то в новых пере-
менных кривизна
(
)
1/2
1,
O R
δδ
′′ξ =
1.
δ
Поэтому, следуя общей
схеме построения асимптотических представлений, уравнение (8)
необходимо дополнить граничным условием:
2
2
0
∂ ξ =
∂δ
при
δ → +∞
.
(9)
