Безнапорное заполнение капилляра в асимптотической теории смачивания
7
Еще в качестве двух необходимых граничных условий используем
0
ξ =
и
e
∂ξ = α
∂δ
при
0
δ =
,
(10)
где второе условие является условием равновесия Юнга.
Уравнение (8) вместе с граничными условиями (9), (10) асимпто-
тически полностью определяют форму свободной поверхности жид-
кости вблизи линии трехфазного контакта в зависимости от скорости
растекания.
Порядок уравнения (8) можно понизить, введя новую зависимую
переменную
2
2
e
d p
d
ξ
⎛ ⎞
=
− α
⎜ ⎟
δ
⎝ ⎠
и рассматривая толщину
ξ
жидкой плен-
ки в качестве независимой переменной. В новых переменных урав-
нение (8) примет вид
(
)
1
2
2
2
2
3
2
2
1
1
0.
2
e
f
e
e
p p
x
p
p
−
⎛
⎞
+ α
⎡
⎤
∂ ∂
⎜
⎟
+
+ ξ +
=
⎢
⎥
⎜
⎟
∂ξ ∂ξ
ξ
α
α
⎣
⎦
⎝
⎠
(11)
Граничные условия для уравнения (11) следуют из условий (9) и
(10):
0
p
=
при
0
ξ =
и
0
p
∂ =
∂ξ
при
.
ξ →∞
(12)
Достаточно полное исследование задачи (11), (12) можно прове-
сти только численно. Проблема осложняется тем, что нужная нам ин-
тегральная кривая проходит через особую точку:
0
p
= ξ =
. Поэтому
найдем асимптотическое представление для интегральной кривой
вблизи особой точки. Для этого проинтегрируем уравнение (11) с
учетом первого граничного условия (12). В результате получим соот-
ношение
(
)
( )
1
2
2
3
2
0
2
1
1
,
2
e
f
e
e
p p
x
p
p d C
−
ξ
⎛
⎞
+ α
⎡
⎤
∂
⎜
⎟
+
+
ξ +
ξ =
⎢
⎥
⎜
⎟
∂ξ
ξ
α
α
⎣
⎦
⎝
⎠
∫
где
С
≠
0 — постоянная интегрирования. Вблизи особой точки можно
считать, что
2
e
p
α
, а интеграл стремится к нулю при
0.
ξ →
Тогда
уравнение (11) сводится к линейному уравнению вида
2
3
1 2
.
2
e
p
p C
∂ α+
=
∂ξ ξ
Общее решение этого уравнения:
