Н.И. Сидняев
10
Уравнение динамики сжимаемой жидкости (4) в случае радиаль-
ного расширения ударной волны преобразовано к характеристиче-
скому уравнению
2
2
0,
u
p
u
a
a
u a
a
t
t
r
r
r
(17)
где
u
— радиальная скорость жидкости за фронтом волны;
а
— мест-
ная скорость звука в сжатой среде.
Параметры течения непосредственно за ударной волной опре-
деляют из соотношений
1
2
1
1
2
1
M M ;
2 M 1 ;
1
1
u
p
(18)
2
1 0
2
1
1
2
0 1
1 M
;
,
1 M 2
p a
p
где М — число Маха;
0 0
,
p
— давление и плотность среды перед
фронтом волны.
Из характеристического уравнения (17) с граничными условиями
(18) получено дифференциальное уравнение для сферической удар-
ной волны с использованием числа Маха M( ):
r
2
2
0,5
0,5
2
2
2
1
2M
M 1
2 M 1 M 2 M 1 M M 2
dr
r dt
0,5
2
2
2
2
2
1 M 2
M
M 1 ,
M 1 2 M 1
2M(M 1)
(19)
которое может быть проинтегрировано как численным, так и анали-
тическим образом при известных начальных условиях для числа Ма-
ха. Если начальное давление
р
н
на поверхности полупогруженной
сферы единичного радиуса задано, то при
r
= 1 соответствующее ему
число
0
M
можно найти из соотношения
2
0
0
2
1
M 1 .
1
H
p
p
Угол
наклона касательной к фронту волны в точке ее пересече-
ния со свободной поверхностью характеризуется соотношением
0,5
1
1
2
p
B
(20)
