В общем случае анализ условий устойчивости, проводимый даже
на основе упрощенной системы (7), требует применения численных
методов. Для того чтобы в аналитическом виде записать критерии воз-
никновения магнитной неустойчивости, исследуем начальную стадию
эволюции электрического поля, когда температура сверхпроводника
θ
m
, до которой он нагрелся перед возникновением неустойчивости, и
граница области намагниченности
X
p
не претерпевают значительного
изменения. Для жестких сверхпроводников без стабилизирующей ма-
трицы данный подход оправдан в силу того, что изменение температу-
ры сверхпроводника изначально определяется диффузией магнитного
поля, так как для жестких сверхпроводников
Λ 1
[3]. Кроме это-
го будем учитывать, что распределение температуры внутри жесткого
сверхпроводника при адиабатических условиях охлаждения практи-
чески однородно. Поэтому в приближении
Λ 1
анализ начальной
стадии перераспределения электрического поля внутри сверхпровод-
ника, на поверхности которого внешнее магнитное поле постоянно,
может быть выполнен на основе исследования собственных чисел ре-
дуцированного уравнения вида
∂e
∂τ
=
∂
2
e
∂X
2
+
γe, γ
=
β
(1
−
θ
m
)
const
,
(8)
с краевыми условиями
e
(
X
p
, τ
) = 0
, ∂e/∂X
(1
, τ
) = 0
.
(9)
Решение задачи (8), (9) с начальными и краевыми условиями будем
искать в виде
e
(
X, τ
) =
∞
X
k
=1
A
k
exp [(
γ
−
ν
k
)
τ
]
Q
k
(
X
)
,
(10)
где
A
k
— константы интегрирования;
Q
k
(
X
)
— собственные функции;
υ
k
— собственные числа, которые следуют из решения задачи Штурма–
Лиувилля
d
2
Q
k
dX
2
+
ν
k
Q
k
= 0
, Q
k
(
X
p
) = 0
, dQ
k
/dX
(1
, τ
) = 0
.
Согласно данной спектральной задаче, собственные числа удовлетво-
ряют равенству
√
ν
k
(1
−
X
p
) = (2
k
−
1)
π/
2
,
0
< ν
1
< ν
2
< . . . , k
= 1
,
2
,
3
. . . .
Поэтому электрическое поле, индуцированное изменяющимся внеш-
ним магнитным полем, будет спонтанно возрастать (см. рис. 4) даже
при фиксированном значении внешнего магнитного поля, если выпол-
няется условие
γ
−
ν
1
>
0
, когда в выражении (10) появится сомножи-
тель, экспоненциально нарастающий со временем. Следовательно, в
46
1...,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 15,16,17,18