Далее удобно ввести следующие величины:
m
=
D
0
DD
33
=
E
G
12
+(1
−
2
ν
)
, f
=
D
3
D
=
ν
+
2
G
12
(1
−
ν
2
)
E
, κ
2
=
K/D
33
.
Отсюда следует, что
f
=
(
m
−
1)
ν
+ 2
m
−
1 + 2
ν
.
Тогда уравнение (14) можно представить как
d
6
θ
yn
dy
6
−
κ
2
+
mλ
2
n
d
4
θ
yn
dy
4
+
λ
2
n
(2
fκ
2
+
mλ
2
n
)
d
2
θ
yn
dy
2
−
λ
4
n
κ
2
+
λ
2
n
θ
yn
= 0
(15)
и при этом показать, что
Δ
n
=
−
1
λ
n
1
κ
2
+
f
(2
−
m
−
ν
)
κ
2
(1 +
ν
)
−
f
λ
2
n
.
Отметим, что для трансверсально изотропного тела, когда
G
12
=
=
E/
[2(1 +
ν
)]
,
имеют место равенства
m
= 3
,
f
= 1
,
Δ
n
=
λ
−
3
n
.
Как обычно, решение уравнения (15) ищем в виде
θ
yn
(
y
) =
A
n
e
α
n
y
.
(16)
После подстановки выражения (16) в уравнение (15) получим следу-
ющее характеристическое уравнение:
α
6
n
−
κ
2
+
mλ
2
n
α
4
n
+
λ
2
n
(2
fκ
2
+
mλ
2
n
)
α
2
n
−
λ
4
n
κ
2
+
λ
2
n
= 0
.
(17)
Для трансверсально изотропного тела уравнение (17) принимает
вид
α
2
n
−
λ
2
n
2
α
2
n
−
λ
2
n
−
K
D
33
= 0
.
Корни этого уравнения можно записать так:
α
(1
,
2)
n
=
λ
n
, α
(3
,
4)
n
=
−
λ
n
, α
(5)
n
=
−
α
(6)
n
=
p
λ
2
n
+
κ
2
.
Отметим, что в работе [6] на основании иного способа учета попереч-
ных сдвигов были получены корни, которые в принятых обозначениях
имеют вид
α
(1
,
2)
n
=
λ
n
, α
(3
,
4)
n
=
−
λ
n
, α
(5)
n
=
−
α
(6)
n
=
p
λ
2
n
+ 5
κ
2
/
6
.
Решив алгебраическое уравнение (17) и получив выражение для
θ
yn
(
y
)
, далее по второй формуле из (13) находим производную
dθ
xn
dy
.
Продифференцировав один раз полученное выражение, определяем
производную
d
2
θ
xn
dy
2
. Затем, воспользовавшись первым равенством си-
стемы уравнений (8), получаем выражение для угла поворота
θ
xn
(
y
)
.
108
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
1,2,3,4,5,6,7 9,10,11,12,13,14,15