D
12
=
E
1
ν
21
h
3
12(1
−
ν
12
ν
21
)
;
K
x
=
G
13
h
;
K
y
=
G
23
h.
В этих соотношениях
E
1
, E
2
— модули упругости материала в на-
правлении основы и утка соответственно (см. рис. 1);
G
12
— модуль
сдвига в плоскости
XOY
;
ν
12
,
ν
21
— коэффициенты Пуассонa;
G
13
,
G
23
— модули сдвига в плоскостях
XOZ
и
Y OZ
соответственно.
Погонные изгибающие моменты
M
x
,
M
y
, крутящий момент
M
xy
,
приложенные к срединной поверхности пластины, рассчитываются
следующим образом:
M
x
=
D
11
κ
x
+
D
12
κ
y
;
M
y
=
D
12
κ
x
+
D
22
κ
y
;
M
xy
=
D
33
κ
xy
,
(2)
где
κ
x
=
∂θ
x
∂x
;
κ
y
=
∂θ
y
∂y
;
κ
xy
=
∂θ
x
∂y
+
∂θ
y
∂x
.
Кроме этого, для погонных перерезывающих сил
Q
x
и
Q
y
имеем за-
висимости
Q
x
=
D
11
∂
2
θ
x
∂x
2
+ (
D
12
+
D
33
)
∂
2
θ
y
∂x∂y
+
D
33
∂
2
θ
x
∂y
2
;
Q
y
=
D
22
∂
2
θ
y
∂y
2
+ (
D
12
+
D
33
)
∂
2
θ
x
∂x∂y
+
D
33
∂
2
θ
y
∂x
2
.
(3)
Как видно, уравнения (1) образуют неоднородную систему трех
линейных дифференциальных уравнений в частных производных от-
носительно трех неизвестных функций
w
(
x, y
)
,
θ
x
(
x, y
)
,
θ
y
(
x, y
)
. Для
ее решения воспользуемся методом одинарных тригонометрических
рядов. Искомые функции представим в виде тригонометрических ря-
дов
w
(
x, y
) =
∞
X
n
=1
W
n
(
y
) sin(
λ
n
x
);
θ
x
(
x, y
) =
∞
X
n
=1
θ
xn
(
y
) cos(
λ
n
x
);
θ
y
(
x, y
) =
∞
X
n
=1
θ
yn
(
y
) sin(
λ
n
x
)
,
(4)
причем
λ
n
=
πn/a.
Тогда из формул (2) для изгибающих моментов
можно получить такие равенства:
104
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
1,2,3 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,...15