Стр. 10 - Б.С. Сарбаев, Ю.Ю. Ширшов, К.П. Баслык - Расчет напряженно-деформированного состояния прямоугольной пластины из углерод-карбидного композита
Упрощенная HTML-версия
Δ
n
=
−
3
−
m
λ
n
κ
2
∙
ν
2
+ (
m
−
1)
ν
+ 1
(1 +
ν
)(
m
−
1 + 2
ν
)
+
f
λ
3
n
.
Здесь
α
ni
— корни характеристического уравнения (17). Константы
A
in
определяются из граничных условий для амплитудных функций,
которые на основании равенств (4) и условий (7) принимают вид
y
=
±
b
2
:
W
n
= 0
, θ
xn
=
θ
yn
= 0
.
(21)
Корни характеристического уравнения (17) можно получить с по-
мощью формул Кардано. Для этого запишем его следующим образом:
x
3
n
−
I
1
n
x
2
n
+
I
2
n
x
n
−
I
3
n
= 0
,
(22)
где
x
n
=
α
2
n
,
I
1
n
=
κ
2
+
mλ
2
n
>
0
,
I
2
n
= 2
fκ
2
+
mλ
2
n
>
0
,
I
3
n
=
κ
2
+
+
λ
2
n
>
0
.
Как обычно, при использовании подстановки
z
n
=
x
n
+
I
1
n
/
3
из уравнения (22) следует неполное кубическое уравнение
z
3
n
+
p
n
z
n
+
+
q
n
= 0
,
где в принятых обозначениях имеем
3
p
n
=
m
(3
−
m
)
λ
4
n
+ 2
κ
2
(3
f
−
m
)
λ
2
n
−
κ
4
;
27
q
n
= (
−
2
m
3
+ 9
m
2
−
27)
λ
6
n
+
+
κ
2
(18
fm
+ 9
m
−
6
m
2
−
27)
λ
4
n
+ 6
κ
4
(3
f
−
m
)
λ
2
n
−
2
κ
6
.
В зависимости от значения дискриминанта
Q
n
=
p
3
n
/
27+
p
2
n
/
4
получим
либо три действительных корня, либо один действительный и два
комплексно сопряженных корня.
Численный анализ показывает, что для широкого класса квазиизо-
тропных пластин, изготовленных из УККМ с ортогональным 2D ар-
мированием, в интервале
1
< n < n
, где
n
≈
50
, имеем
Q
n
>
0
.
Следовательно, в этом случае для неполного кубического уравнения
будем иметь один действительный и два комплексно сопряженных
корня. При этом корни уравнения (17) запишем так:
α
1
n
=
ω
n
;
α
2
n
=
−
ω
n
;
α
3
n
=
ρ
n
+
iη
n
;
α
4
n
=
ρ
n
−
iη
n
;
α
5
n
=
−
ρ
n
−
iη
n
;
α
6
n
=
−
ρ
n
+
iη
n
.
В этом случае общее решение (20) для однородного уравнения (15)
можно представить следующим образом:
θ
yn
(
y
) =
A
1
n
sh
(
ω
n
y
) +
A
2
n
ch(
ω
n
y
) +
A
3
n
Φ
1
n
(
y
)+
+
A
4
n
Φ
2
n
(
y
) +
A
5
n
Φ
3
n
(
y
) +
A
6
n
Φ
4
n
(
y
)
.
(23)
Здесь приняты обозначения
Φ
1
n
(
y
) = sh(
ρ
n
y
) sin(
η
n
y
); Φ
2
n
(
y
) = sh(
ρ
n
y
) cos(
η
n
y
);
Φ
3
n
(
y
) = ch(
ρ
n
y
) cos(
η
n
y
); Φ
4
n
(
y
) = ch(
ρ
n
y
) sin(
η
n
y
)
.
(24)
110
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
