48
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2012
4
4
11
13
5
5
12
14
6
6
15
17
7
7
8
8
16
17
9
9
10
10
11
11
12
12 13
13
14
14
15
15
1
1
3
3
;
;
2
2
4
4
1
5
1
1
;
;
2
4
2
4
1
3
1
;
;
2
4
2
1
1
1
1
;
;
;
;
8
8
4
4
1
1
;
4
16
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
b
a a
a
b a
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a a
a
b
a
b
a b
a
b
a b
a
b
a b
a
⎛
⎞
=
+ +
= +
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
=
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
=
+ +
=
⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
=
=
=
=
16
16
17
17
18
3
4
10
11
13
18
1
1
;
;
;
8
8
1
1
3
3
1
.
2
2
8
8
4
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
b
a b
a
b
a
a a
a
a a
=
=
= + + + +
+
(31)
Аналогичные выражения можно получить и для сагиттальной со-
ставляющей.
Таким образом, коэффициенты разложения по полиномам Чебы-
шева позволяют оценить значения аберраций до пятого порядка
включительно.
Важными аргументами в пользу целесообразности использования
полиномов Чебышева являются следующие их свойства: 1) много-
члены
(
)
1
1 2
n
nm
T
−
являются наименее уклоняющимися от нуля на от-
резке [–1...1] среди всех многочленов степени
n
со старшим коэффи-
циентом, равным единице; 2) коэффициенты при высоких степенях
аргументов функции и, следовательно, аберрации высших порядков
входят в коэффициенты разложения более низких порядков; 3) об-
ласть значений полиномов не превышает единицы. Кроме того, зна-
чения полиномов более равномерно распределены на отрезке [–1...1]
по сравнению со степенными функциями в разложении (28), которые
возрастают с увеличением координаты на зрачке.
Учитывая изложенные выше свойства, задача расчета объектива
на этапе аналитико-оптимизационного синтеза может быть сведена к
минимизации абсолютных значений коэффициентов разложения по
полиномам Чебышева. Для минимизации коэффициентов (31) требу-
ются значительно меньшие вычислительные мощности, чем для ми-
нимизации реальных аберраций, полученных из расчета хода лучей,
поскольку для вычисления коэффициентов разложения достаточно
рассчитать ход всего двух вспомогательных лучей.
При оптимизации необходимо не только минимизировать коэф-
фициенты разложения, но и обеспечить конструктивные ограниче-
ния: минимальные толщины линз, воздушные промежутки, габариты
1...,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 14,15,16,17