6
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2012
(
)
/2 /2
2 (
)
/2 /2
,
( , )
,
x y
b a
j v x v y
x y
b a
h v v
h x y e
dx dy
π
−
+
− −
=
∫ ∫
нм·мм
2
,
(1)
где
,
x y
— координаты на контролируемой оптической поверхности,
мм;
,
x y
v v
— пространственные частоты по осям
X
,
Y
, мм
–1
;
a, b —
размеры апертуры контролируемой поверхности по осям
X
,
Y
, мм.
Спектральная плотность мощности
PSD
(
v
x
,
v
y
) вводится в соот-
ветствии с теоремой Хинчина — Винера как преобразование Фурье
от автокорреляционной функции от функции
h
(
x
,
y
):
(
)
( )
/2 /2
2 (
)
/2 /2
,
Kr[ , ]
x y
b a
j v x v y
x y
b a
PSD v v
h x y e
dx dy
π
−
+
− −
=
∫ ∫
, нм
2
·мм
2
, (2)
где
( )
[
]
(
) ( ) (
) ( )
1 1
2 2
Kr
,
[(
,
, )(
,
, )]
h x y M h x y h x y h x y h x y
=
−
−
— авто-
корреляционная функция, определяемая через математическое ожи-
дание от произведения разностей функций высот
1 1
)
( ,
h x y
и
2 2
)
( ,
h x y
и их среднего значения
.
( , )
h x y
Из уравнений (1) и (2) можно установить связь введенной функ-
ции
PSD
(
v
x
,
v
y
) с СКО профиля поверхности
R
q
, нм. По определению,
R
q
— это квадратный корень из двойного интеграла квадрата функ-
ции высот
h
(
x
,
y
), нормированный на площадь контролируемой по-
верхности. Используя теорему Парсеваля о том, что интеграл квадра-
та функции равен интегралу квадрата преобразования Фурье данной
функции, запишем
( ) ( )
/2 /2
2
/2 /2
,
,
b a
q
b a
R
h x y h x y dx dy
− −
⎡
⎤
=
−
=
⎣
⎦
∫ ∫
(
)
max
max
min min
Δ Δ
Δ Δ
,
.
y
x
x
y
x y
x y
PSD v v dv dv
ν
ν
ν
ν
=
∫
∫
(3)
Частоты
min
max
min
max
Δ , Δ , Δ , Δ
x
x
y
y
ν
ν
ν
ν
в уравнении (3) должны
удовлетворять теореме Котельникова:
max
min
1
1
Δ
; Δ
;
2Δ
2Δ
x
x
x
x
ν
ν
−
=
=
(4)
max
max
1
1
Δ
; Δ
.
2Δ
2Δ
y
y
y
y
ν
ν
−
=
=
(5)
При переходе к частотному анализу профиля поверхности ошиб-
ки волнового фронта лазерного излучения, отраженного от оптиче-
ской поверхности, можно разделить на четыре основных простран-
1,2 4,5,6,7,8,9,10,11,12,...13