6 / 15
Е.А. Сухов, Б.С. Бардин
6
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2017
Найдем уравнение указанной поверхности в пространстве парамет-
ров
, ,
γ δ
h
, где
h
— константа энергии системы с гамильтонианом
(1).
Для этого посредством канонической замены переменных
1 2 1 2
, ,
,
, , ,
ψ θ
ψ θ
→ξ ξ η η
p p
приведем гамильтониан (1) к нормальной
форме:
(
)
(
)
(
)
I
2 2
2 2
2 2
1 1 1
2 2 2
2 1 1
2 1 1
4
1
1
2
2
,
2
= ω ξ + η + ω ξ + η + ξ η − ξ − η ξ η +
K
A
O
(5)
где
A
― резонансный коэффициент, зависящий от
1
ω
и
2
ω
.
Введем новое время
τ
по формуле
1
τ = ω ν
и выполним масшта-
бирующую каноническую замену переменных
1
1
ξ = ε
ax
,
2
2
ξ = ε
ax
,
1
1
η = ε
ay
,
2
2
η = ε
ay
с валентностью
2 2
1 ,
= ε
n
a
которая приводит
гамильтониан (5) к виду
(
)
(
) (
)
II
2 2
2 2
2 2
1 1
1
1
2 μ
2
2
= + + + + +
K
x y
x y
(
)
( )
2 2
2
2 1 1
2 1 1
2
2
,
4
+ ε
− −
+ ε
x y x
y x y O
(6)
где
2 1
2;
μ = ω ω −
ε
― малые параметры (коэффициент невязки ча-
стот и масштабный коэффициент);
1
2 4
= ω
a
A
[9].
Канонические уравнения с гамильтонианом (6) имеют однопара-
метрическое семейство короткопериодических решений вида
2
0
sin (
) ( );
=
Ω τ + τ + ε
x C
O
2
0
sin (
) ( ),
=
Ω τ + τ + ε
y C
O
(7)
где
2
2
( );
Ω = + μ + ε
O
C
— постоянный параметр.
Если выполнено неравенство
2 ,
μ < ε
C
то короткопериодиче-
ские решения (7) орбитально устойчивы в линейном приближении,
если же
2
μ > ε
C
, то — орбитально неустойчивы. Последнее нера-
венство задает область параметрического резонанса, границы кото-
рой определяются уравнением
2
2
2
μ = ε
C
. (8)
Для того чтобы получить уравнения границы (8) в пространстве
исходных параметров задачи, выразим параметры
С
,
μ
и
ε
через
1
ω
,
2
ω
и константу энергии
h
. Константа энергии
*
h
системы с гамиль-
тонианом (6) связана с константой энергии
h
исходной системы с
гамильтонианом (1) и параметром
С
соотношениями