3 / 15
Численно-аналитическое построение и исследование устойчивости…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2017 3
здесь
3 1
/
α =
J J
,
0 0
/
β = ω
r
0
(
r
― проекция абсолютной угловой
скорости спутника на его ось динамической симметрии
;
Oz
0
ω
―
угловая скорость центра масс).
Независимой переменной является истинная аномалия
0
.
ν = ω
t
Координата
ϕ
— циклическая, соответствующий ей импульс
ϕ
p
сохраняет постоянное значение.
Уравнения движения с гамильтонианом (1) имеют частное реше-
ние
0
/ 2,
ϑ = π
0
cos
,
ψ = −γ
0
0
sin ,
θ
= ψ
p
0
0,
ψ
=
p
отвечающее ги-
перболоидальной прецессии спутника, при которой его ось динами-
ческой симметрии лежит в плоскости, перпендикулярной радиусу-
вектору центра масс, и составляет угол
0
π − ψ
с нормалью к плоско-
сти орбиты. При
0
δ >
гиперболоидальная прецессия устойчива по
Ляпунову [6]. Ранее в работах [13, 17] для некоторых частных случа-
ев геометрии масс спутника рассматривалась задача о существова-
нии и построении периодических движений, рождающихся из гипер-
болоидальной прецессии. Для решения этой задачи в [13] разработа-
на программная реализация метода численного продолжения по
параметру семейств периодических движений гамильтоновых си-
стем, предложенного в [16].
Аналитическое построение ляпуновских периодических дви-
жений.
Если частоты
1 2
,
ω ω
(
1
2
ω > ω
) линейной системы не связаны
резонансными соотношениями до четвертого порядка включительно,
то при подходящем выборе канонических переменных функция Га-
мильтона (1) в окрестности гиперболоидальной прецессии может
быть приведена к следующей нормальной форме:
(
)
(
)
(
)
2
2 2
2 2
2 2
1 1 1
2 2 2
20 1 1
1
1
2
2
= ω + + ω + +
+ +
K
q p
q p a q p
(
)(
)
(
)
2
2 2 2 2
2 2
11 1 1 2 2
02 2 2
5
,
+
+
+ +
+ +
a q p q p a q p O
(2)
где
20
a
,
11
a
,
02
a
― постоянные коэффициенты, зависящие от пара-
метров
γ
и
;
δ
5
O
— совокупность членов порядка 5 и выше.
Каноническая система уравнений с гамильтонианом (2) имеет
следующие семейства периодических решений, существование кото-
рых гарантируется теоремой Ляпунова о голоморфном интеграле:
(
)
( )
2
3
1
1
20
sin
4
;
= ω ν +
ν +
q c
c a O c
(
)
( )
2
3
1
1
20
cos
4
;
= ω ν+ ν +
p c
c a O c
(3)
( )
( )
3
3
2
2
;
;
=
=
q O c p O c