4 / 15
Е.А. Сухов, Б.С. Бардин
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2017
(
)
( )
2
3
2
2
02
sin
4
;
= ω ν +
ν +
q c
c a O c
(
)
( )
2
3
2
2
02
cos
4
;
= ω ν+ ν +
p c
c a O c
(4)
( )
( )
3
3
1
1
,
=
=
q O c p O c
с периодами
( )
2
4
1
1
20
2 /
4
= π ω + +
T
c a O c
и
( )
2
4
2
2
20
2 /
4
= π ω + +
T
c a O c
(
2 1
<
T T
) соответственно; (3) и (4) суть сходящиеся при достаточно
малых значениях амплитуды
c
степенные ряды, представляющие
соответственно долго- и короткопериодические движения .
О численном продолжении семейств периодических движе-
ний.
Для построения семейств периодических движений при произ-
вольных значениях амплитуды использовался метод численного про-
должения периодических решений гамильтоновых систем, разрабо-
танный С.Р. Каримовым и А.Г. Сокольским в [16]. Идея этого
метода была предложена A. Deprit и J. Henrard [15], ее суть состоит
во введении в окрестности известного (опорного) решения локаль-
ных координат
[
]
=
T
u u v v
w n m n m
, где
u
n
и
v
n
― нормальные смеще-
ния;
u
m
― тангенциальное смещение,
v
m
― энергетическое смеще-
ние. Это позволяет свести краевую задачу нахождения периодиче-
ского решения к задаче Коши.
Поиск нового периодического решения осуществляется в два
этапа: предиктора и корректора. На этапе предиктора в результате
численного интегрирования системы дифференциальных уравнений,
описывающей изменение величин
,
u
n
,
u
m
,
v
n
,
v
m
находят поправки
к начальным условиям опорного решения, дающие начальные усло-
вия нового, приближенно-периодического решения, которые затем
уточняют на этапе корректора.
Программная реализация указанного численного метода и мето-
дика выбора приращений параметров описаны в работе [13]. По-
грешность
( , , ) ( ) (0)
Δ = Δ γ δ = −
z z h
z T z
получаемых на каждом шаге
решений не превышала
5
1 .
10
−
⋅
Ранее в работе [14] для всех допусти-
мых значений параметров задачи были построены области существо-
вания (рис. 1) и орбитальной устойчивости (рис. 2) в первом прибли-
жении короткопериодических движений, рождающихся из гипербо-
лоидальной прецессии спутника.
Численно-аналитическое построение семейств долгопериоди-
ческих движений при значениях параметров, близких к резонан-
су
2
1
. 2
ω = ω
Если в системе наблюдается параметрический резонанс
2
1
2
ω = ω
, то в окрестности поверхности, ограничивающей область па-
раметрического резонанса, существуют два семейства долгопериодиче-
ских движений и одно семейство короткопериодических движений.