7 / 15
Сравнительный анализ напряжений
…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 10·2017 7
Здесь
1 2
, ,
A A B
— некоторые неизвестные константы. Функции
(0)
i
u
,
выбранные в таком виде, удовлетворяют граничным условиям зада-
чи (17). Подставляя (18) в систему (17), получаем выражения для
констант:
1111
1111
1
2
1111
2
1111 1111 1111
,
,
24
6
,
.
4
∆
∆
= −
= −
∆
∆
∆=
∆ =
−
∆
pС
pD
B
A
pB A
D С B
(19)
Используя формулы (14) и (16) и учитывая ортотропность мате-
риалов рассматриваемой пластины, преобразуем формулы (5)–(7) для
напряжений
{ }
{
}
{
}
{
}
(
)
(0)
(0)
2
3
3 0
0
33
1111
1111
11,11
11,11
( 1/ 2) ,
−
ξ
ξ
ξ
ξ
σ = κ
ε + κ ξ
η − κ + ∆ ξ +
C
C
p p
(
)
(0)
(0)
11 11
11
,
σ = ε + κξη
IJ
IJ
C
(20)
{ }
{
}
(0)
(0)
2
3
111
111
11,1
11,1
.
ξ
ξ
σ = −κ
ε − κ ξ
η
I
I
I
C
C
Сравнение с трехмерной теорией.
Для анализа точности полу-
ченного решения на основе разработанной асимптотической теории
было проведено сравнение результатов расчета компонент тензора
напряжений по формулам (20) и соответствующих компонент, рас-
считанных по трехмерной теории упругости.
При численных расчетах толщина пластины
h
была выбрана
равной 21 мм, а остальные геометрические параметры пластины бы-
ли подобраны таким образом, чтобы выполнялось соотношение
0, 025
κ = = =
h b
L L
,
обеспечивающее «тонкость» пластины. Граничные условия для трех-
мерной задачи теории упругости были заданы следующими:
3
1
1
2
1
1
3
3
2
1
1 0
2
2
3
3 0
,
0,
0,
0.
±
=±
=
=
=±
=
=
σ
= − δ
=
=
=
=
=
i
i
x h
x
x L
x b
x
x L
p
u
u
u
u
u
Были выбраны следующие значения давления на внешней и
внутренней поверхностях:
7
10
+
=
p
Па и
6
10
−
=
p
Па. Пластина со-
стояла из трех слоев, толщины которых соответствовали сетке