5 / 15
Сравнительный анализ напряжений
…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 10·2017 5
Введены операторы интегрирования:
{
}
(
)
1/2
( , )
( , )
( , )
,
ξ
ξ
−
ξ =
ξ − < ξ > ξ
∫
I
I
I
f x
f x
f x
d
1/2
( , )
( , )
( 1/ 2) ( , ) ,
ξ
ξ
−
ξ =
ξ ξ+ < ξ −
ξ >
∫
I
I
I
f q
f q d
f q
(9)
1/2
1/2
( , )
( , ) ,
−
< ξ > =
ξ ξ
∫
I
I
f x
f x d
операторы дифференцирования по локальной координате
(1)
(1)
/3
/
= ∂ ∂ξ
i
i
u u
и по глобальным координатам
(1)
(1)
,
/
= ∂ ∂
j
i j
i
u u x
, а также обозначены
деформации и кривизны срединной поверхности пластины в нулевом
приближении:
(
)
(0)
(0)
(0)
,
,
1
,
2
ε =
+
KL
K L L K
u u
(0)
(0)
3,
.
η = −
IJ
IJ
u
(10)
Для вычисления
амплитуд перемещений нулевого приближе-
ния
*(0)
k
u
в асимптотической теории расчета пластин формулируются
осредненные уравнения равновесия, получающиеся после подстановки
разложений (4) в уравнения равновесия системы (2) и последующего их
осреднения [12]:
,
0,
=
IJ J
T
,
,
= ∆
J J
Q p
,
0,
− =
IJ J
I
M Q
(11)
где
2
,
∆ = κ ∆
p
p
IJ
T
— усилия,
IJ
M
— моменты и
I
Q
—
перерезывающие силы, которые вводятся с помощью следующих
осредненных соотношений:
*
= < σ >
IJ
IJ
T
,
*
= κ < ξσ >
IJ
IJ
M
,
*
3
= < σ >
I
I
Q
. (12)
Подставляя выражения (5) для деформаций и напряжений в
интегралы формул (12), получаем осредненные определяющие
соотношения асимптотической теории пластин с точностью до первых
двух приближений:
(0)
(0)
,
(0)
(0)
,
,
,
= ε + η +
ε
= ε + η +
ε
IJ
IJKL
IJKL KL IJKLM
KL
KL M
IJ
IJKL
IJKL KL IJKLM
KL
KL M
T C
B
K
M B
D
K
(13)
где обозначены тензоры осредненных упругих констант пластины
*(0)
(0)
(0)
*
(0)
(0)
2 2
2
,
,
,
,
.
= < >
= κ < ξ >
= κ <
>
= κ < ξ
>
= κ < ξ
>
IJKL
IJKL
IJKLM
IJKL
IJKL
IJKLM
IJKL
IJKLM
IJKL
IJKLM
C C B
C K
N
D
C K
N
(14)