4 / 15
Ю.И. Димитриенко, Ю.В. Юрин
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 10·2017
получаем рекуррентную последовательность специальных локальных
задач теории упругости 0-го, 1-го, 2-го и 3-го и т. д. приближений для
нахождения всех членов асимптотических разложений (4). Эти задачи
имеют явное аналитическое решение. При последовательном их
решении находим выражения
(1) (2)
,
, ...
k k
u u
и
(0) (1) (2) (3)
,
,
,
, ...
σ σ σ σ
ij
ij
ij
ij
для
всех приближений перемещений и напряжений в асимптотических
разложениях через перемещения
(0)
k
u
, относящиеся к нулевому
приближению. Для практических целей достаточно удерживать только
начальные члены в этих асимптотических разложениях.
Для изгибных и сдвиговых напряжений начальные члены асимп-
тотических разложений имеют следующий вид [12, 15]:
(
)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
,
.
σ =
ε + κξη + κ
ε
IJ
IJKL KL
KL
IJKLM KL M
C
N
(5)
Для напряжений межслойного сдвига имеем
{
}
{
}
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
2
2
3
,
,
,
.
ξ
ξ
σ = −κ
ε − κ ξ
η + κ
ε
I
IMKL KL M
IMKL KL M INKLM KL MN
C
C
P
(6)
Для поперечных нормальных напряжений
{
}
{
}
(
)
(
)
{
}
{
}
( )
(0)
(0)
2
3
33
,
0
(0)
(0)
(0)
3
3
,
,
1/ 2
,
−
ξ ξ
ξ ξ
σ = κ
ε
− κ + ∆ ξ + +
+κ ξ
η − κ
ε
MN
MNKL
KL
MNKL
KL MN
RNKLM KL MNR
C
p p
C
S
(7)
* * *
.
+ −
∆ = −
p p p
В этих формулах введены обозначения для комплексов упругих ха-
рактеристик слоев пластины:
(0)
1
3 3 3 3
−
= −
IJKL IJk k i
i KL
IJKL
C C C C C
,
{
}
(0)
(0)
(0)
,
ξ
ξ
=
Ψ −
PQKLM IJS
IJKLM IJPQ
SMKL
N C
Z C
1
3 3 3
,
−
=
jKL j i
i KL
Z C C
3 3
3 3 3 333
2
,
=
− δ
j i
j i
i
j
C C
C
(
)
1
1
3
3 3
3 3
2
−
−
Ψ = −
δ + δ
IJKLM s KL I s MJ
J s MI
C C
C
,
1
1
3 3
3 3
2
,
−
−
Ψ = δ + δ
IJsK I s KJ
J s KI
C
C
{
}
{
}
(0)
(0)
(0)
,
ξ
ξ
ξ
=
−
Ψ
INS
PQKLM
INKLM
SKLM INPQ
P
Z C
C
(8)
{
}
{
}
(0)
(0)
(0)
.
ξ
ξ
ξ ξ
=
−
Ψ
RNS
PQKLM
RNKLM
SMKL
RNPQ
S
Z C
C