3 / 15
Сравнительный анализ напряжений
…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 10·2017 3
состоящую из уравнений равновесия, соотношений Коши, обобщенного
закона Гука, граничных условий на внешней и внутренней поверхности
3
±
Σ
(их уравнение имеет вид
3
/ 2
= ±
x h
), на торцевой поверхности
Σ
T
(их уравнение
1
0, ),
=
x L
на боковой поверхности
Σ
B
(ее уравнение
2
/ 2)
= ±
x b
и условий контакта
Σ
S
слоев пластины, где
[ ]
i
u
— скачок
функций.
В системе (2) обозначены компоненты тензоров:
*
σ
ij
—
напряжений,
*
ij
ε
— деформаций,
3
( )
ijkl
C x
— тензора модулей
упругости, а также
j
u
— компоненты вектора перемещений,
/
∇ = ∂ ∂
j
j
x
— оператор дифференцирования по декартовым коорди-
натам [19]. Тензор модулей упругости зависит от координаты
3
x
, так
как этот тензор различен для разных слоев пластины.
Следуя [13], рассматриваем случай, когда давление
*
±
p
на внешней
и внутренней поверхностях пластины имеет порядок малости
3
( )
κ
O
по сравнению с
0
E
— характерным значением модуля упругости
материалов пластины (размерная величина),
3
±
±
= κ
p
p
,
0
(1)
±
=
p O E
, (3)
где
(1)
O
— безразмерная величина порядка 1. Допущение (3), как
правило, соответствует реальным условиям нагружения тонких
пластин.
Асимптотическая теория расчета тонких многослойных пла-
стин.
В [12–15] была разработана асимптотическая теория много-
слойных тонких пластин, в которой вводятся малый параметр
/
1
κ = <<
h L
и локальная поперечная координата
3
/
ξ = κ
x
. Реше-
ние задачи
(1) в асимптотической теории ищется в виде асимптоти-
ческих разложений по малому параметру
κ
в виде функций, завися-
щих от глобальных и локальной координат:
*(0)
*(1)
*(2)
*(3)
*
2
3
*(0)
*(1)
*(2)
*
2
*(0)
*(1)
*(2)
*
2
( )
( , )
( , )
( , ) ... ,
... ,
... .
=
+ κ
ξ + κ
ξ + κ
ξ +
ε = ε + κε + κ ε +
σ = σ + κσ + κ σ +
k
I
I
I
I
k
k
k
k
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
u u x u x
u x
u x
(4)
Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами
I
,
J
,
K
,
L
,
принимают значения 1, 2, а индексы
i
,
j
,
k
,
l
— значения 1, 2, 3.
Подставляя асимптотические разложения (4) в систему урав-
нений (1) и собирая в ней члены при одинаковых степенях от
,
κ