5 / 15
Фильтрация жидкости в неоднородном слое с коэффициентом фильтрации…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 6·2017 5
ция жидкости (воды) вызывается разностью давлений
1
P
и
2
P
и, со-
ответственно, потенциалов
1
ψ
и
2
ψ
на верхнем и нижнем
бьефах.
Коэффициент фильтрации
2
( , )
K x y y
=
обращается в нуль на прямой
y
= 0, которая является водоупором. Получаем краевую задачу для
потенциала
u
(
x
,
y
) фильтрационного течения под плотиной:
2
div( grad ( , )) 0,
, 0
,
y u x y
x
y a
= −∞ < < ∞ < <
(11)
2
0
( )
lim
,
0,
,
y
y
y u x y
x
→(
= −∞ < < ∞
(12)
1
2
( , )
,
0, ( , )
,
0.
u x a
x
u x a
x
= ψ <
= ψ >
(13)
Переходя к функции
( , ) ( , )
v x y y u x y
=
, получаем для нее задачу
Дирихле:
Δ ( , ) 0,
, 0
,
v x y
x
y a
= −∞ < < ∞ < <
( , 0) 0,
,
v x
x
= −∞ < < ∞
1
2
( , ) ,
0, (
( )
, )
,
0.
v x a a x
v x a a x x
= v <
= v >
Решением задачи (11)–(13) будет функция
(
)
0
1
( , )
( , )
sin(π / )
2
ch π(
) /
cos( / )
v x y
dt
u x y
y a
y
y
x t a
y a
−∞
v
=
=
(
− ( π
∫
(
)
2
0
sin(π / )
2
ch π(
) /
cos( / )
dt
y a
y
x t a
y a
∞
ψ(
=
− ( π
∫
(
)
2 1
1 2
(
) arctg tg( / 2 )th( / 2 )
.
2
a
y a x a
y
ψ − ψ
ψ ( ψ
=
π
π
(
π
Ее график и линии равного потенциала для
,
a
= π
1
2,
ψ = −
2
1
ψ = −
представлены на рис. 1, линии тока — на рис. 2.
В случае однородного грунта (
K
= 1
)
потенциал фильтрационного
течения жидкости под точечной плотиной с водоупором является
решением смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа:
Δ ( , ) 0,
, 0
,
u x y
x
y a
= −∞ < < ∞ < <
1
2
( , )
,
0, ( , )
,
0,
( )
( )
u x a
x x u x a
x x
= ψ <
= ψ >
, 0 0,
( )
.
y
u x
x
= −∞ < < ∞