3 / 15
Фильтрация жидкости в неоднородном слое с коэффициентом фильтрации…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 6·2017 3
где
Δ
—
оператор Лапласа. Вводя новую неизвестную функцию
( , )
( , )
v x y yu x y
=
, получим для нее уравнение Пуассона
Δ ( , )
( , ), 0
,
v x y f x y
y a
=
< <
(7)
где
( , )
( , ) / .
f x y f x y y
=
В случае отсутствия источников (стоков)
( , ) 0
f x y
≡
получаем
однородное уравнение (Лапласа)
Δ ( , ) 0, 0
.
v x y
y a
= < <
(8)
Для уравнения Пуассона (7) рассмотрим задачу Дирихле
( , 0) ( ),
v x
x
= ϕ
(9)
( , )
( ).
v x a
x
= v
(10)
Ее решение для
n
x
∈
дано в работе [3]. Приведем это решение
для случая однородного уравнения
(8). Если ( )
x
ϕ
и ( )
x
ψ
— ограни-
ченные функции, то
(
)
( , )
φ( )
,
ψ( )
,
(
, )
n
n
n
n
v x y
t K x t y dt
t L x t y dt
=
−
(
−
∫
∫
где
[ ]
(
)
(
)
( )
1
sh (
)
,
( , ) ,
,
,
,
sh
( )
n
n
t
n
n
t a y
K x y F k x y k t y
t
a t
−
−
=
=
∈
[ ]
(
)
( )
( )
1
sh
,
( , ),
,
,
,
sh
( )
n
n
t
n
n
t y
L x y F l x y l t y
t
a t
−
=
=
∈
1
t
F
−
— обратное преобразование Фурье по переменным
.
t
Можно показать, что
( , )
v x y
и
,( )
y
v x y
ограничены в слое
0
.
y a
< <
Если
x
∈
, то
(
)
1
φ( )
( , )
sin(π / )
2
ch π(
) /
cos( / )
t
v x y
y a
dt
a
x t a
y a
∞
−∞
=
(
− − π
∫
(
)
1
( )
sin(π / )
.
2
ch π(
) /
cos( / )
t
y a
dt
a
x t a
y a
∞
−∞
ψ
(
− ( π
∫
Если
2
x
∈
, то