12 / 15
О.Д. Алгазин, А.В. Копаев
12
Инженерный журнал: наука и инновации
# 6·2017
Вертикальная скважина в неоднородном слое.
В неоднород-
ном слое, нижняя плоскость которого изолирована, а верхняя есть
плоскость равного потенциала, расположена вертикальная скважина
длины
.
l
Будем моделировать ее отрезком оси
y
длины
l
, каждая
точка которого является стоком, так что сток всего отрезка равен
.
Q ql
=
Обозначая через
( )
H y
единичную функцию Хевисайда, за-
пишем соответствующую краевую задачу:
(
)
2
div( grad ( , ))
(
)
(
) ( ),
y u x y
q H y a l H y a x
= −
− ( − − a
(19)
2
, 0
, 0
,
x
y a l a
∈ < < < <
2
2
0
lim
,
0, ( , ) 0,
.
( )
y
y
y u x y
u x a
x
→(
=
= ∈
(20)
Переходя к функции ( , )
( , )
v x y yu x y
=
, получаем задачу Дирихле
для уравнения Пуассона:
(
)
Δ ( , )
(
)
(
) ( ),
q
v x y
H y a l H y a x
y
= −
− ( − − a
2
, 0
, 0
,
x
y a l a
∈ < < < <
( )
( )
2
, 0 0, ,
0,
.
v x
v x a x
=
= ∈
Ее решение (см. [3]):
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
0
exp(
ch / ) cos
/
,
4
ch(
ch / ) cos
/
a
a l
x
a
y t a
q dt
v x y
a t
x
a
y t a
∞
−
−π ξ − π −
= −
−
π
π ξ − π −
∫ ∫
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
exp(
ch / ) cos
/
.
ch(
ch / ) cos
/
x
a
y t a
d
x
a
y t a
−π ξ − π (
−
ξ
π ξ − π (
Решением задачи (19)–(20) будет функция
( , )
( , )
.
v x y
u x y
y
=
На рис. 8 приведены сечения поверхностей равного потенциала
плоскостью, проходящей через ось
,
y
для значений параметров
1,
q
=
,
a
= π
/ 2.
l
= π
Сами поверхности получаются вращением этих
кривых вокруг оси
у
.