2 / 15
О.Д. Алгазин, А.В. Копаев
2
Инженерный журнал: наука и инновации
# 6·2017
и для потенциала получается уравнение
(
)
div ( , )grad ( , )
( , ).
K x y
u x y f x y
=
(1)
В слоистых средах коэффициент фильтрации является кусочно-
постоянной функцией
.
В неоднородных средах коэффициент филь-
трации является функцией координат. Фильтрации в неоднородных
пористых средах посвящено большое количество работ [1]. При
этом каждый закон изменения коэффициента фильтрации требует
своих методов решения краевых задач. Если
2
,
K y
=
то фильтрация
в полуплоскости
1
y
< −
[2]. Но и при выбранном законе изменения
коэффициента фильтрации каждая область также требует своих ме-
тодов решения.
В настоящей статье рассмотрим фильтрацию жидкости в беско-
нечном слое
0
y a
< <
в случае, когда коэффициент непрерывно убы-
вает с глубиной по квадратичному закону.
Постановка краевой задачи.
Предположим, что коэффициент
фильтрации зависит только от вертикальной координаты
y
по квад-
ратичному закону
2
( , )
.
K x y y
=
Уравнение (1) можно записать в виде
2
div( grad ( , ))
( , ), 0
.
y
u x y f x y
y a
=
< <
(2)
В случае отсутствия источников (стоков) получаем однородное
уравнение
2
div( grad ( , )) 0, 0
.
y u x y
y a
= < <
(3)
На нижней границе
0
y
=
коэффициент фильтрации обращается
в нуль, и поэтому будем считать, что жидкость через нижнюю гра-
ницу не течет и, следовательно, нормальная составляющая скорости
течения жидкости равна нулю:
2
0
( )
lim
,
0.
y
y
y u x y
→(
=
(4)
Поставим также более общее граничное условие
2
0
( )
lim
,
( ).
y
y
y u x y
x
→(
= ϕ
(5)
На верхней границе
y a
=
будем считать известным значение по-
тенциала
( , )
( ).
u x a
x
= ψ
(6)
Решение краевой задачи.
Решим краевую задачу (2), (5), (6).
Уравнение (2) запишем в виде
2
2
div( grad )
Δ 2
Δ( )
( , ), 0
,
y
y u y u yu y y u f x y
y a
= ( =
=
< <