4 / 15
О.Д. Алгазин, А.В. Копаев
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 6·2017
(
)
(
)
(
)
2
2
2
0
sh
ch( ) /
sin( / )
( , )
( )
2
ch
ch( ) /
cos( / )
x t
a d
y a
v x y
t dt
a
x t
a
y a
∞
π − ξ
ξ
π =
ϕ
(
π − ξ − π
∫
∫
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
2
0
sh
ch( ) /
sin( / )
( )
.
2
ch
ch /
cos( / )
x t
a d
y a
t dt
a
x t
a
y a
∞
π − ξ
ξ
π (
ψ
π − ξ ( π
∫
∫
Функция
( , ) ( , ) /
u x y v x y y
=
является решением уравнения (3). По-
скольку в силу ограниченности
,( )
y
v x y
2
0
0
( ) lim ,
lim ,
( , )
( , 0)
( )
(
)
,
( )
y
y
y
y
x
y u x y
yv x y v x y v x
x
→(
→(
ϕ =
=
−
= −
= −ϕ
и
( , )
( )
( ),
v x a a x
x
= v = v
то решением краевой задачи (3), (4), (6) будет функция
( , )
u x y
=
( , ) /
v x y y
=
, где
( , )
v x y
— решение задачи Дирихле (8), (9), (10) с
( )
( )
x
x
ϕ = −ϕ
и
( )
( ).
x a x
ψ = ψ
Если
x
∈
, то
(
)
1
φ( )
( , )
sin(π / )
2
ch π(
) /
cos( / )
t
u x y
y a
dt
ay
x t a
y a
∞
−∞
= −
(
− − π
∫
(
)
1
( )
sin(π / )
.
2
ch π(
) /
cos( / )
t
y a
dt
y
x t a
y a
∞
−∞
ψ
(
− ( π
∫
Если
2
x
∈
, то
(
)
(
)
2
2
2
0
sh
ch( ) /
sin( / )
( , )
( )
2
(ch
ch( ) / ) cos( / )
x t
a d
y a
u x y
t dt
a y
x t
a
y a
∞
π − u
u
π = −
ϕ
(
π − u − π
∫
∫
(
)
( )
(
)
2
2
0
sh
ch( ) /
sin( / )
( )
,
2
(ch
ch / ) cos( / )
x t
a d
y a
t dt
ay
x t
a
y a
∞
π − ξ
ξ
π (
ψ
π − ξ ( π
∫
∫
где
2
2
1 2
1 2
1 1
2 2
( , ),
,
(
) (
) .
t
t t dt dt dt x t
x t
x t
=
=
− = − ( −
Решения неоднородного уравнения рассмотрим далее.
Фильтрация под точечной плотиной в неоднородном слое с
водоупором.
Предположим, что точечная плотина и границы верх-
него и нижнего бьефов расположены на прямой
0.
у а
= >
Фильтра-