10 / 15
О.Д. Алгазин, А.В. Копаев
10
Инженерный журнал: наука и инновации
# 6·2017
Решением этой задачи является функция Грина [3]:
(
)
(
)
0
0
0
0
0 0
exp(
ch( ) / ) cos (
) /
( , )
ch(
ch( ) / ) cos (
) /
4
x x
a
y y a
Q
v x y
x x
a
y y a
ay
∞
−π − ξ − π −
=
−
π − ξ − π −
π
∫
(
)
(
)
0
0
0
0
exp(
ch( ) / ) cos (
) /
.
ch(
ch( ) / ) cos (
) /
x x
a
y y a
d
x x
a
y y a
−π − ξ − π (
−
ξ
π − ξ − π (
Решением задачи (17)–(18) будет функция
( , )
( , )
.
v x y
u x y
y
=
Эта функция зависит только от
0
и
r x x y
= −
, т. е. поверхности
равного потенциала обладают осевой симметрией. Сечения поверх-
ностей равного потенциала плоскостью, проходящей через ось
,
y
для значений параметров
0
0
1,
,
0,
/ 2
Q a x
y
= = π = = π
представлены
на рис. 6. Сами поверхности можно получить вращением этих кри-
вых вокруг оси
y
.
Для сравнения приведем решение этой задачи для однородного
слоя (
K
= 1), рассмотренное в работе [6]:
0
0
Δ ( , )
(
) (
),
v x y Q x x y y
= δ − δ −
2
1 2
0
( , )
, 0
, 0
,
x x x
y a y a
=
∈ < < < <
2
, 0 0, ( , ) 0,
( )
.
y
v x
v x a x
=
= ∈
(
)
(
)
0
0
0
0
0
sh(
ch( ) / 2 )cos (
) / 2
( , )
ch(
ch( ) / ) cos (
) /
2
x x
a
y y a
Q
v x y
x x
a
y y a
a
∞
π − ξ
π (
(
= − π − ξ − π (
π
∫
(
)
(
)
0
0
0
0
sh(
ch( ) / 2 )cos (
) / 2
.
ch(
ch( ) / ) cos (
) /
x x
a
y y a
d
x x
a
y y a
π − ξ
π −
(
ξ
π − ξ − π −
Сечения поверхностей равного потенциала плоскостью, прохо-
дящей через ось
,
y
для тех же значений параметров представлены
на рис. 7. Сами поверхности равного потенциала получаются враще-
нием этих линий вокруг оси
y
.