Инженерный журнал: наука и инновации
# 6·2017 1
УДК 532.546:517.958 DOI 10.18698/2308-6033-2017-6-1624
Фильтрация жидкости в неоднородном слое
с коэффициентом фильтрации, изменяющимся
по квадратичному закону
© О.Д. Алгазин, А.В. Копаев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрена модельная задача фильтрации жидкости в неоднородном слое, ко-
эффициент фильтрации которого убывает с глубиной как квадрат расстояния до
дна слоя. Представлены полученные точные решения соответствующих краевых
задач для двумерного и трехмерного случаев. Приведены примеры решения задач
фильтрации под точечной плотиной и каскадом из двух точечных плотин в неод-
нородном слое с водоупором, выраженные в элементарных функциях. Описаны
источник и вертикальная скважина в трехмерном неоднородном слое. Потенциал
скорости в этих случаях записывается в виде интегралов от элементарных функ-
ций
.
Решения данных краевых задач можно применить и при рассмотрении ста-
ционарных электрических и тепловых полей в неоднородных средах, в которых
диэлектрическая проницаемость и коэффициент теплопроводности изменяются
по квадратичному закону.
Ключевые слова:
установившаяся фильтрация жидкости, неоднородный слой,
коэффициент установившейся фильтрации, уравнение Лапласа, уравнение Пуас-
сона, задача Дирихле
Введение.
Скорость установившегося течения фильтрующейся
жидкости в неоднородной пористой среде, согласно закону Дарси,
имеет вид [1, 2]
( , )
( , )grad ( , ),
x y K x y
u x y
=
V
где
x
∈
в случае плоской задачи или
2
1 2
( , )
x x x
=
∈
в случае про-
странственной задачи;
y
— вертикальная координата;
( , )
K x y
— ко-
эффициент фильтрации; функция
( , )
u x y
называется потенциалом
(обобщенным) и связана с давлением жидкости
( , )
P x y
формулой
(
)
( , )
( , ) /
,
u x y
P x y g y
= −
ρ (
где
ρ
— плотность фильтрующейся жидкости;
g
— ускорение сво-
бодного падения.
Если в области течения жидкости расположены источники (сто-
ки) с плотностью
( , )
f x y
, то
div ( , )
( , )
x y f x y
=
V