4 / 13
Н.Е. Зубов, В.Н. Рябченко, М.Н. Поклад, Д.Е. Ефанов, Е.И. Старовойтов
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 5·2017
Справедливо следующее утверждение [2]: если MIMO-система (1)
с парой матриц (
А
,
В
) полностью управляема, то полностью управля-
емыми являются все пары матриц
( ,
)
i
i
A B
в формулах (4), (5), где
{0, 1}
i
∈
.
В рассматриваемом случае все матрицы
i
B
в формулах (4), (5)
являются матрицами полного ранга по столбцам. При этом оказыва-
ется также справедливым и другое утверждение [2].
Пусть MIMO-система (1) полностью управляемая и матрица
r m
×
∈
K
удовлетворяет формулам
0
0
0 0
0
1 0
0
,
−
−
−
⊥ +
= = −
=
+
K K B A B B K B B
Φ
, (6)
1 1 1 1 1
+
+
= −
K B A B
Φ
, (7)
тогда
(
)
2
1
1
eig
eig(
)
i
i
−
=
− =
Φ
A BK
. (8)
Отсюда следует, что закон управления (3) с матрицей
r n
×
∈
K
,
удовлетворяющей соотношениям (6)–(7), обеспечивает выполнение
условия на собственные значения (8), т. е. условия заданного разме-
щения полюсов.
В соответствии со сказанным выше введем в рассмотрение двух-
уровневую декомпозицию. Учитывая, что в нашем случае ранг каж-
дой из вводимых матриц
0
B
и
1
B
совпадает с соответствующим чис-
лом столбцов, имеем
нулевой уровень
11 12 13 14
11 12
21 22 23
21 22
31 32 33
31 32
43
0
,
,
0
0 1
0
0 0
a a a a
b b
a a a
b b
a a a
b b
a
= =
= =
0
0
A A
B B
(9)
первый уровень
,
.
⊥ ⊥+
⊥
=
=
1
0 0 0
1
0 0 0
A B A B B B A B
(10)
Зададим далее матрицы
0 1
,
=Φ Φ Φ
таким образом, чтобы
множество
0
1
eig( ) eig( )
∪Φ Φ
состояло из корней характеристического полинома
(
)
4
det
λ − +
I A BK
,