9 / 13
Задачи динамики космических конструкций с жидким топливом…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 5·2016 9
*
1
( , , )
( , ) sin
( , ) sin ;
N
k k
k
r z
r z
c U r z
0
1
1
1
(
,
)
1
( , )
( , , )
sin ;
( , )
N
nk k
k
N
k
n
nk
z h r r
k
a U r z
r z
U r z
a
z
(14)
0
1
2
1
(
,
)
1
( , )
( , , )
sin .
( , )
N
nk k
k
N
k
n
nk
z h r r
k
b U r z
r z
U r z
a
z
Подставив выражение (13) с учетом (11) во второе и третье гра-
ничные условия задачи (12), умножив уравнения на
1
n
z
и
2
n
z
, проинтегрировав по поверхностям
0
Г
и
соответственно,
имеем
(1)
(1)
(1)
2
(1)
(1)
0
0
(2)
(2)
(2)
0
0
0
(2)
(1)
(2)
(1)
01
0
0
1
1
1
1
0;
(
)
0,
1, 2, ...;
n n n
n n
n n n n n
n
n n n
n n
n
n n
n
c
n
n
n
n
n
n
n
n
n
s
p V p V s
s
e
p
s V s V
V
p
n
J
mz
s
p
s
1 1
(2)
1
1
,
n
O x
n
n
p M
(15)
где
01
J
— момент инерции системы «бак — жидкость».
Третье уравнение в (15) — уравнение движения бака в безраз-
мерной форме.
Рассмотрим собственное движение исследуемой механической
системы, т. е.
1 1
0.
O x
M
Определим собственные частоты колебаний
системы с учетом двух первых тонов (
n
= 1, 2). Положив
0
1 1
t
s s e
,
0
1 1
t
p p e
,
0
2 2
t
s s e
,
0
2
2
t
p p e
,
0
t
e
, получим характери-
стическое уравнение