Задачи динамики космических конструкций с жидким топливом, вытекающим из сферических емкостей

3 / 13

Задачи динамики космических конструкций с жидким топливом…
Инженерный журнал: наука и инновации # 5·2016 3
Используя метод Ритца [4, 5], находим
0
1 1
0 1
1
0 1
( , ) 1
Ф ( , , , ) ( , , ) ( )
( , )
( ) ( );
( , )
 
 
 

 
  
    
 
 
 
 
 

 
  
 






mn mn
m n
N
mnk k
k
m mn
N
k m n
mnk
z h r r k
r z t r z s t
a U r z
H s t
U r z
a
z
(2)
 
0
2 2
0 1
1
0 1
( , ) 1
Ф ( , , , ) , , ( )
( , )
( ) ( ).
( , )
 
 
 

 
  
    
 
 
 
 
 

 
 

 






mn mn
m n
N
mnk k
k
m mn
N
k m n
mnk
z h r r k
r z t r z p t
b U r z
H p t
U r z
a
z
(3)
Подставив выражения (2) и (3) в первое и второе граничные
условия задачи (1), умножив уравнения на 1mn z   и 2mn z   и
проинтегрировав по поверхностям 0 Г и  соответственно, имеем
(1) (1) (1) 2
0 0
(2) (2) (2)
0 0 0
0;
( ( ) ) 0,
0, 1, 2, ...; 1, 2, 3, ... .
mn mn mn mn mn mn mn mn mn
mn mn mn mn mn mn mn mn
s p V p V s s
p s V s V V p
m n
 

  
        
          
 
   
   
(4)
Для определения собственных частот рассматриваемой механи-
ческой системы положим 1 2 , . t t
mn mn mn mn s A e p A e 
  Из уравнений
(4) получим характеристическое уравнение
       
3 2 1 0 3 2 0.
mn mn mn mn k k k k        (5)
Результаты численного решения уравнения (5) для варианта 1 за-
дачи (см. рис. 1, а ) и варианта 2 (см. рис. 1, б ) представлены в табл. 1.
Формы апериодических и периодических колебаний жидкости при-
ведены на рис. 2, а и б соответственно.