8 / 17
Ю.В. Баркин, М.Ю. Баркин
8
в центральном ньютоновском поле (при учете в выражении силовой
функции лишь второй гармоники). Параметры рассматриваемой за-
дачи и задачи Клебша [6] связаны простым соотношением
2
3
.
2
m m m
n a c
К квадратурам уравнения (12)–(16) сведены Коббом и Харламо-
вой [6].
Другой интегрируемый случай имеет место при условиях
,
i
i
A B
.
m m
a b
(19)
Уравнения движения (12)–(18) при этом допускают три первых
интеграла:
;
F C
;
p C
.
p C
и легко сводятся к квадратурам. Этот случай аналогичен случаю ин-
тегрируемости в задаче о движении осесимметричного тела с закреп-
ленной точкой в центральном ньютоновском поле, указанному Бе-
лецким [6].
Воспользуемся теперь каноническими переменными Андуайе [6]
и запишем уравнения движения тела
i
P
при условиях (19). Для
большей общности предположим, что силовая функция задачи имеет
вид
1
2
n
U
33
.
r
(20)
При
1
n
силовая функция (20) соответствует классической за-
даче о движении тяжелого твердого тела в случае Лагранжа [6] и
2
mgl
(где
g
— ускорение свободного падения;
l
— расстояние от
центра масс тела до точки его закрепления).
При
2,
n
2
3
m m m i
i
n a c A C
силовая функция (20) соот-
ветствует рассматриваемой задаче о вращении осесимметричного
твердого ядра в полости осесимметричной мантии.
Уравнения движения в переменных Андуайе имеют канониче-
ский вид и характеризуются гамильтонианом
2
2
1 1 1
1 ,
2 2
2
n
i
i
i
G F
L
A C A
где
2 2 2
2
2
2
sin
G L G H
LH g
G
G
.