3 / 17
Движение твердого ядра в полости вращающейся несферичной оболочки
3
где
f
— гравитационная постоянная;
m
m
— масса мантии;
m
R
—
радиус наибольшей сферы с центром в точке
,
m
C
которую можно
«вложить» в полость.
Полагаем, что тело
i
P
все время находится и движется внутри
этой сферы. Величины
,
m m
a b
и
m
c
аналогичны осевым моментам
инерции оболочки
,
m m
A B
и
,
m
C
однако определяются для другого
закона распределения плотностей и являются безразмерными. Эти
величины определяются следующими объемными интегралами:
3
2 2
5
;
m
m
m
m
R y z
a
dm
m r
3
2 2
5
;
m
m
m
m
R x z
b
dm
m r
3
2 2
5
,
m
m
m
m
R x y
c
dm
m r
(3)
где
, ,
x y z
,
2 2 2
r x y z
— координаты элементарного объема
d
оболочки с массой
, ,
dm x y z d
(
— плотность), а интегри-
рование распространено на весь объем оболочки
.
m
В общем случае произвольных по форме и динамическому строе-
нию оболочек
m
P
выражение силовой функции (2) является прибли-
женным. Однако существует класс тел
,
m
P
для которых формула (2)
будет точной. К таким телам относятся однородные оболочки, внеш-
няя и внутренняя поверхности которых являются эллипсоидами.
Уравнения этих эллипсоидов в системе координат
m
C xyz
2
2 2
2 2 2
1,
u u u
x y z
a b c
где
, ,
u u
a b
u
c
(
,
u e i
) — их полуоси.
В этом случае коэффициенты квадратичных членов в силовой
функции (2) определяются формулами:
2
1
2
;
2
m m m m e
i
n b c a A A f
2
1
2
;
2
m m m m e
i
n c a b B B f
(4)
2
1
2
,
2
m m m m e
i
n a b c
C C f