Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред

10 / 26

Ю.И. Димитриенко
10
Решение локальных задач нулевого приближения. Поскольку
задачи (29)–(31) являются одномерными по локальной переменной , 
их решение можно найти аналитически [15]:
         
       
1 0 0 0 1 0 0
3, 3
0 0 0 0 0 0 0
3
2 ; ;
; 0,
     
    
I I IKL KL KL KL
IJ IJKL KL i
u u S u S
C
(33)
где функции от  имеют вид
1 1
3 3 3 3 3 3 ;
 
 
 
      
IKL j I jKL j I jKL S C C d C C d
1 1
33 3 3 33 3 3
0,5 0,5
;
 
 
 
      
KL i i KL i i KL S C C d C C d (34)
 0 1
3 3 3 3 .   
IJKL IJKL IJk k i i KL C C C C C
Учитывая, что  0
3 0  i и у компонент  1 
im B отличны от нуля
только  1
31

B и  1
32 , 
B несложно убедиться в том, что
   0 0 1 0.
imk jm jkB     (35)
Тогда решение локальной задачи устойчивости (29) имеет вид,
аналогичный (33):
         
       
1 0 0 1 0
3, 3
0 0 0 0
3
; ;
; 0.
      
    
I I IKL KL KL KL
IJ IJKL KL i
w w S w S
C
(36)
Из формул (34) следует, что для случая ортотропных материалов
0; 
IKL S 1 1
3333 33 3333 33
0,5 0,5
.
 
 
 
      
KL KL KL S C C d C C d (37)
Следовательно, из соотношений (33) и (35) с учетом выражений
(5), (6) получаем, что мембранные перемещения в пластине в основ-
ном и варьированном состояниях с точностью до членов второго по-
рядка малости линейно зависят от поперечной координаты ,  как
в классических теориях пластин Кирхгофа — Лява и Тимошенко:
               
       
0 0 0 0
3, 3,
1 0 1 0
3, 3,
; ;
; .
     
    
I I J I J I I J I J
I I I I
u u x u x w w x w x
u u w w
(38)