В.В. Дубинин, В.В. Витушкин
4
в оригинальном исполнении, так и в среде системы LabView 7.0 в ви-
де виртуального прибора, на экран которого выводятся эксперимен-
тальные данные и указанные теоретические зависимости.
Теоретические основы исследований.
Рассмотрим линеаризо-
ванную математическую модель движения каретки без учета сопро-
тивления. На расчетной схеме установки (рис. 2,
б
) электродвигатель
и механизм привода маятника не показаны. Масса каретки равна
M
.
Массу маятника
m
считаем сосредоточенной в точке
C
. Длина маят-
ника
OC = l
. Колеса
3
совершают плоское движение, но в силу их
малой массы будем учитывать ее в общей массе каретки
M
при пря-
молинейном поступательном движении последней (т. е. вращение
колес не учитывается). Система имеет две степени свободы, введены
две обобщенные координаты:
x
— линейное перемещение тележки
и
ϕ −
угловое отклонение маятника. Изменение координаты
ϕ
задано,
а уравнение
x
=
x
(
t
) необходимо определить. Примем, что колеса ка-
тятся без скольжения, поэтому работа на перемещениях точек при-
ложения сил
тр тр
, ,
,
N N F F
′
′
равна нулю.
Для составления дифференциального уравнения движения карет-
ки используем уравнение Лагранжа 2-го рода
.
x
d T T Q
dt x x
∂ ∂
− =
∂ ∂
(1)
Здесь
(
)
2
2
2
2 2
cos
2 2
2
2
C
M m x
Mv mv
ml
T
mxl
+
ϕ
= + =
− ϕ ϕ +
— кинетиче-
ская энергия системы;
v v x
= =
— скорость каретки;
C r
e
v v v
= +
—
скорость точки
С
,
,
r
v OC l
= ϕ = ϕ
,
e
v v
=
(
)
2
2
2 2 2
C
e
r
v v v
x l
= + = + ϕ +
(
)
2 2 2
2 cos
2 cos .
x l
x l
x l
+ ϕ π − ϕ = + ϕ − ϕ ϕ
Обобщенная сила
(
) (
)
0
0
2 ,
x
c x x c x x x
Q
cx
x
− + − − δ
⎡
⎤
⎣
⎦
=
= −
δ
где
x
0
— начальная деформация пружин;
c
— жесткость пружин.
С учетом выражений для
T
и
x
Q
уравнение Лагранжа 2-го рода
принимает вид дифференциального уравнения для вынужденных
движений
(
)
(
)
2
2
cos
sin .
M m x cx ml
+ + = ϕ ϕ − ϕ ϕ
В правой части уравнения находится нелинейная обобщенная
возмущающая сила. При малых значениях
ϕ
правая часть уравнения
