Упругий полый цилиндр под действием бегущей и фоновой нагрузок
11
1
2
1 2
,
u u u
r r r
θ
θ
θ
ε + ε = + = = ε
где
θ
ε
— решение для комплексной задачи.
Затем найдем
(
)
1
2
1 2
r
r
r
u u
u
r
r
∂ +
∂
ε = =
= ε + ε
∂
∂
и далее
1
2
1
z
z
z
z
ε = ε + ε = ε
,
2
0
z
ε =
.
Для объемной деформации имеем
1
2
,
r
z
θ
Θ = ε + ε + ε = Θ + Θ
где
1
1
1
1
;
r
z
θ
Θ = ε + ε + ε
2
2
2
.
r
θ
Θ = ε + ε
Далее докажем, что
(
)
(
)
1
2
1
2
1 2
2
2
,
r
r
r
r
r
r
G
G
σ = ε + λΘ = ε + ε + λ Θ +Θ = σ + σ
где
1
1
1
2
;
r
r
G
σ = ε + λΘ
2
2
2
2
;
r
r
G
σ = ε + λθ
1
2
2
;
G
θ
θ
θ
θ
σ = ε + λΘ = σ + σ
1
1
1
2
;
G
θ
θ
σ = ε +λΘ
2
2
2
2
;
G
θ
θ
σ = ε +λΘ
1
2
2
;
z
z
z
z
G
σ = ε + λΘ = σ + σ
1
1
1
2
;
z
z
G
σ = ε +λΘ
2
2
.
z
σ = λΘ
Аналогично получаем для
1 2 1
,
τ = τ +τ = τ
так как
2
0.
τ =
Поскольку
1 2
,
u u u
a a a
= +
имеем
1
2
u
P u
a
G
=
π
и
2
0
ˆ ,
u Pu
a G
=
тогда
0
2
ˆ .
u
P P u u
a
G G
=
+
π
Далее находим
1
2
r
r
r
σ = σ + σ
или
1
2
0
0
,
r
r
r
P
P P P P
σ σ
σ
= +
1
2
0
r
r
r
P
P
σ = σ + σ
0
( ,
P P
— давление в задачах 1, 2 соответственно).
