7
Математическое моделирование механических систем
(
)
(
)
2
0
0
c
0
1
2 V r
.
2
T mV m
′
=
+
×ω + ω⋅Θ ⋅ ω
G G G G
G
Представим векторы в связанной системе координат
V i
j
k,
i
j
k,
i,
O x
y
z
x
y
z
c
V V V
r b
′
= + +
ω = ω + ω + ω =
G G G
G G G
G
G
G
G
и заменим тензорное произведение на матричное
ω
T
Θ
0
ω
, где
(
)
, ,
;
x y z
′
ω = ω ω ω
{
}
* * *
diag ,
,
;
O
x y z
Θ = Θ Θ Θ
* * *
,
,
x y z
Θ Θ Θ
— главные осевые
моменты инерции тела в полюсе
О
, тогда
(
)
(
)
2
* 2
* 2
* 2
1
2
.
2
O
Oy z
Oz y
x x
y y
z z
T mV m V V b
=
+
ω − ω + Θ ω + Θ ω + Θ ω
Воспользуемся теоремой Штейнера, связывающей моменты инерции
относительно параллельных осей
*
*
2
*
2
,
,
,
x
x
y
y
z
z
J
J mb
J mb
Θ = Θ = + Θ = +
где
J
x
,
J
y
,
J
z
— главные осевые моменты инерции тела в центре масс,
причем
J
y
=
J
z
.
Таким образом, установлен общий вид кинетической энергии тела
вращения при его произвольных эволюционных перемещениях в абсо-
лютном пространстве:
(
)
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
.
2
O
Oy z
Oz y
x x
y
y
z
T mV m V V b J
J mb
=
+
ω − ω + ω + + ω + ω
Теперь за полюс
О
примем центр вертлюга СГП, а за связанные оси
OXYZ
— координатные оси
ОX
ν
Y
ν
Z
ν
ν
-го тела;
m
ν
— масса
ν
-го тела,
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
,
,
x
y
z
y
z
J J J J J
ν
ν
ν
ν
ν
=
— главные осевые моменты инерции
ν
-го тела
в точке
С
ν
.
Заметим, что
( )
( )
( )
11
12
13
( )
( )
( )
21
22
23
( )
( )
( )
31
32
33
,
,
,
,
x
y
z
Ox
O
Oy
O
Oz
O
c
c c
s
c c
c
V
x
V
y
V
z
ν
ν ν
ν
ν
ν ν ν
ν ν
ν
ν ν ν
ν ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ω = ψ ϑ + ϕ ω = ψ ϕ ϑ + ϑ ϕ ω = −ψ ϕ ϑ + ϑ ϕ
⎛
⎞
α α α
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= α α α
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
α α α
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
где
( )
ij
ν
α
— элементы матрицы поворота связанной системы координат
ν
-го тела относительно подвижной земной системы координат
OX
g
Y
g
Z
g
.
При подстановке последних выражений в формулу кинетической энер-
гии тела вращения, произвольно перемещающегося в пространстве,
получим выражение кинетической энергии
ν
-го тела СГП в следую-
щем виде:
