1
УДК 681.5:681.3:519.6:531.1:517.91
Математическое моделирование механических систем
со многими степенями свободы
© Ю.В. Журавлёв
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В статье развита методология математического моделирования механических си-
стем со многими степенями свободы с опорой на фундаментальные классические
принципы лагранжевой механики и построение математической модели в виде си-
стемы уравнений Лагранжа второго рода, преобразуемых в гамильтонову систему
в форме Якоби. По данной методике получена система Якоби — модель спуска осе-
симметричных груза и парашюта в земной атмосфере в режиме потенциального
обтекания с наполненным куполом парашюта. Для модели в виде шарнирной связки
двух твердых тел с девятью степенями свободы получены выражения кинетическо-
го потенциала и обобщенных сил. Предложена алгоритмизация дальнейших этапов
исследования с использованием многошагового экстраполяционного метода Адамса
для интегрирования системы Якоби и численного дифференцирования кинетическо-
го потенциала по обобщенным координатам. Обсуждаются вычислительные и ме-
тодические погрешности результата численного дифференцирования. Дан обзор
работ по проблеме регуляризации алгоритмов численного дифференцирования.
Ключевые слова:
математическое моделирование, парашютная система, уравне-
ния Лагранжа, численное интегрирование и дифференцирование.
Введение.
Современная методология исследования и проектиро-
вания сложных систем исходит из определенной иерархии математи-
ческих моделей. При моделировании динамических систем механики
с неизвестными интегральными соотношениями остро стоит вопрос об
адекватности модели. Необходимы надежные методологические прин-
ципы моделирования.
Исходя из лагранжевых принципов теоретической механики, изуче-
ние систем c большим числом степеней свободы сводится к исследова-
нию систем дифференциальных уравнений Лагранжа 2-го рода [1–4].
Неоднозначность выбора обобщенных координат позволяет изучать
динамику систем в различных конфигурационных пространствах (фа-
зовых пространствах, пространствах состояний — в другой термино-
логии). При использовании аппарата лагранжевой механики проблема
моделирования и соответствующей адекватности решается существен-
но проще. Первоначальной задачей теоретической части исследования
после выбора обобщенных координат является получение формулы
кинетического потенциала (разности между кинетической и потенци-
альной энергиями механической системы), а итогом — формулы обоб-
щенных сил (коэффициентов влияния вариаций обобщенных коорди-
