13
Математическое моделирование механических систем
Из принципа равного вклада методической и вычислительной по-
грешностей
имеем
( )
( )
1
1
1
1
15
0
0
5
2 3
3
3
(3)
(3)
1
3 10
1, 44 10
.
max
max
x
x
x
x
y
y
C h
C
y
y
−
−
−
−
<ξ<
<ξ<
= =
≈ ⋅
ξ
ξ
Но из условия минимума
2
2
1
( )
min
C h C
h
∗
∗
+ =
получим
( )
1
1
0
5
2 3
3
(3)
1
1,14 10
,
2
max
x
x
y
C h
C
y
−
∗
−
<ξ<
=
≈ ⋅
ξ
что на 20 % меньше шага, найденного из принципа равного вклада.
Почему двухточечная?
А.Н. Тихонов предложил регуляризацию
решения некорректных задач, к которым относится и численное диф-
ференцирование [11]. С.Б. Стечкин решил экстремальную задачу [12]
( )
( )
( )
1
sup
inf ,
,
f x m
d
Sf x
f x
S
S
dx
′′
≤
−
→ ≤
α
где
S
— ограниченный однородный аддитивный оператор
S
∈
[
C
→
C
].
С.Б. Стечкин нашел оптимальный оператор численного дифферен-
цирования в виде двухточечной формулы
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
2
2 ,
,
.
c
c
f x
f x
R R f x
f x f x
m f x
m
α
δ
+ α − − α
=
=
α
δ
′′
α =
δ ≥
−
≥
Шаг в двухточечной формуле центральных разностей зависит от
уровня вычислительной погрешности и от степени кривизны функ-
ции. Проблеме численного дифференцирования всегда уделялось
особое внимание в отечественной и зарубежной математической пе-
риодике [13–17].
Заключение.
Изложены теоретические основы методологии авто-
матизации моделирования механических систем со многими степеня-
ми свободы с использованием аппарата уравнений Лагранжа второго
рода. Проведен аналитический этап построения математической мо-
дели СГП. Выделены такие ключевые этапы, как получение уравне-
