6
Ю.В. Журавлёв
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
R
i
j
k ,
i
j
k ,
i
j
k ,
....................................................,
g
g
g
g
g
g
g
x g
y g
z
g
x g
y g
z
g
x g
y g
z
g
R R R
M M M M
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
=
+
+
=
+
+
ω = ω + ω + ω
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
где
(
)
i , j , k
g g g
G G G
— ортонормированный правоориентированный репер
абсолютной системы координат
O
g
X
g
Y
g
Z
g
.
Выбор обобщенных координат, определяющих простран-
ственную конфигурацию СГП.
СГП имеет 9
степеней свободы
(6 у одного свободного тела и 3 у другого, как связанного по отно-
шению поступательных перемещений). В качестве обобщенных
координат примем 3 декартовых координаты точки
О
:
x
0
,
y
0
,
z
0
,
а также по 3 эйлеровых угла на каждое тело:
ψ
ν
,
ϑ
ν
и
ϕ
ν
(
ν
= 1, 2).
Выберем вектор обобщенных координат
(
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
, , , , , , , ,
q q q q q q q q q
=
(
)
0 0 0 1 1 1 2 2 2
, , , , , , , ,
x y z
=
ψ ϑ ϕ ψ ϑ ϕ
и соответствующий вектор обобщенных
скоростей
(
)
(
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0
1 1 1 2 2 2
q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q x ,y ,z , , , , , ,
.
=
ψ ϑ ϕ ψ ϑ ϕ
Необходимо получить аналитические выражения кинетического
потенциала
L
=
T
+
U
, а обобщенных сил
Q
1
,
Q
2
, …,
Q
9
, как функций
обобщенных координат
q
1
,
q
2
, …,
q
9
, обобщенных скоростей
1 2
9
q ,q ,...,q
и времени
t
.
Нахождение кинетической энергии СГП.
Вначале найдем кине-
тическую энергию произвольного тела вращения при его свободных
перемещениях в абсолютном пространстве. Выбираем полюс
О
на оси
вращения тела и правую ортонормированную тройку
(
)
i, j, k
G G G
связан-
ной с телом системы осей ориентируем так, что орт
i
G
направлен из
О
по оси вращения и задает направление координатной оси
ОХ
, орт
j
G
задает направление оси
ОY
с привязкой к некоторому элементу тела,
орт
k
G
задает ось
OZ
. Пусть С — центр масс тела с известным положе-
нием
c
r OC bi.
′ ≡ =
JJJG G
G
Будем предполагать, что тензор инерции тела в свя-
занных осях
OXYZ
в точке
О
охарактеризован диагональной матрицей
{
}
* * *
0
diag ,
,
,
x y z
Θ = Θ Θ Θ
что соответствует выбору координатных осей
совмещенными с главными осями инерции тела.
Если
0
V
G
—
абсолютная скорость полюса,
ω
G
—
абсолютная угловая
скорость вращения тела, то кинетическая энергия тела массой
m
