Операторы взаимосвязи спектров в базисах комплексных экспоненциальных функций…
1
УДК 519.216
Операторы взаимосвязи спектров в базисах
комплексных экспоненциальных функций
и функций Виленкина – Крестенсона
© В.В. Сюзев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В работе ставится и решается научно-прикладная задача взаимопреобразования
спектров для наиболее известных и широко применяемых в цифровой обработке
базисов дискретных комплексных экспоненциальных функций Фурье и функций Ви-
ленкина – Крестенсона. С этой целью рассмотрены теоретические основы обоб-
щенного анализа спектра в данных базисах с использованием скалярной и матричной
форм представления дискретных преобразований Фурье. Для конкретных значений
размерности обрабатываемых сигналов и наиболее используемых на практике обра-
ботки способов Адамара и Пэли упорядочения базисных функций в системах Вилен-
кина – Крестенсона приведены структуры и сформулированы основные свойства
матричных операторов взаимосвязи спектров, на основе которых записываются
оригинальные правила объединения спектров данных базисов в независимые группы.
С их помощью операция обобщенного анализа спектра представлена в виде системы
более простых для практической реализации уравнений связи спектров и предложе-
на новая аналитическая трактовка энергетического равенства Парсеваля в спек-
тральной области указанных базисов. Дана наглядная и полезная геометрическая
интерпретация выявленным особенностям операторов взаимосвязи спектров в ба-
зисах Фурье и Виленкина – Крестенсона. Полученные частные результаты обобще-
ны на произвольную размерность дискретного сигнала, что позволило разработать
оригинальные алгоритмы взаимопреобразования спектров в базисах Фурье и Вилен-
кина – Крестенсона для сигналов различной формы и длительности. Особенно полез-
ными полученные результаты могут оказаться при решении задач обработки сиг-
налов с использованием их спектров и энергетических характеристик.
Ключевые слова:
базисные функции, функции Виленкина – Крестенсона, анализ
спектра, ядро Фурье.
Введение.
При решении задач цифровой обработки сигналов в
спектральной области для анализа спектра применяются классиче-
ские методы дискретного преобразования Фурье (ДПФ) в различных
базисах [1–8]. Геометрически они представляют собой процедуры
проецирования векторов сигнала на выбранные оси декартовых си-
стем координат используемого линейного функционального про-
странства сигналов. Целый ряд задач обработки (фильтрация, сжатие,
идентификация, имитация детерминированных и случайных сигналов
[1, 3, 9]) оперирует с различными спектрами одного и того же сигна-
ла. Применение в них классического подхода приводит к необходи-
