В.В. Сюзев
2
мости двукратного выполнения ДПФ для взаимопреобразования
спектра: обратного ДПФ в одном базисе для восстановления сигнала
и прямого ДПФ в другом базисе для получения нового спектра, что
вызывает усложнение результирующего алгоритма обработки.
С другой стороны, поскольку при этом сигнал не меняется, то для
преобразования его спектров может быть однократно использована
процедура обобщенного анализа спектра, геометрически интерпрети-
руемая как вычисление проекций сигнала в одной системе координат
по известным его проекциям в другой системе координат [1, 2, 4, 10].
Сложность и целесообразность применения обобщенного анализа
спектра в этом случае во многом зависят от свойств операторов вза-
имосвязи спектров, составляющих его математическую основу, а по-
следние в свою очередь зависят от используемых систем базисных
функций. В данной работе приводятся математическое описание и
оригинальные свойства операторов взаимосвязи спектров дискрет-
ных комплексных экспоненциальных функций (ДЭФ), широко ис-
пользуемых в частотном анализе и синтезе сигналов [1, 3, 9], и функ-
ций Виленкина – Крестенсона (ВКФ). ВКФ относятся к классу пара-
метрических базисов, поскольку могут быть сформированы в
системах счисления с различными основаниями. Вследствие этого
они обладают обобщающими свойствами и находят применение в
теоретических и прикладных исследованиях как для обобщения су-
ществующих алгоритмов обработки, так и для разработки принципи-
ально новых алгоритмов [4, 7, 9, 11].
Математическое описание процесса взаимопреобразования
спектров.
Пусть в функциональном пространстве
2
N
L
с базисами ДЭФ
( )
2
,
exp
def m i
j
mi
N
π ⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
,
(1)
где
1
j
= −
, и ВКФ
( , )
Wal k i
дискретный сигнал
( )
x i
, определенный
в
N
точках, представляется в виде
1
Ф
0
( )
( ) ( , ),
N
m
x i
X m def m i
−
=
=
∑
(2)
1
BK
0
( )
( )
( , )
N
k
x i
X k Wal k i
−
=
=
∑
и имеет следующие спектры Фурье и Виленкина – Крестенсона:
1
0
1 ( )
( )
( , ),
N
i
X m
x i def m i
N
−
∗
Φ
=
=
∑
