Операторы взаимосвязи спектров в базисах комплексных экспоненциальных функций…
3
1
BK
0
1 ( )
( )
( , ).
N
i
X k
x i Wal k i
N
−
∗
=
=
∑
(3)
В последних выражениях
( , )
def m i
∗
и
( , )
Wal k i
∗
являются функци-
ями, комплексно-сопряженными с ДЭФ и ВКФ соответственно.
Если спектр Фурье
( )
X m
Φ
сигнала
( )
х i
известен, то спектр Ви-
ленкина – Крестенсона
BK
( )
X k
этого сигнала можно определить пу-
тем подстановки выражения (2) в формулу (3). Тогда после преобра-
зований получаем, что
1
BK
0
( )
( ) ( , )
N
m
X k
X m m k
−
Φ
=
=
Φ
∑
,
(4)
где функция двух переменных
m
и
k
1
0
1
( , )
( , )
( , )
N
i
m k
def m i Wal k i
N
−
∗
=
Φ =
∑
(5)
является ядром Фурье линейного преобразования (4) спектра базиса
ДЭФ в спектр базиса ВКФ для одного и того же сигнала. Обратный
переход от спектра
BK
( )
X k
к спектру
( )
Х m
Φ
можно выполнить по
формуле
1
1
0
( )
( ) ( , ),
N
Х m Х k
k m
−
−
Φ
ΒΚ
κ=
=
Φ
∑
(6)
где
1
1
0
1
( , )
( , )
( , )
N
i
k m
Wal k i def m i
N
−
−
∗
=
Φ =
∑
(7)
есть ядро Фурье обратного преобразования спектров. Таким образом,
спектры Фурье и Виленкина – Крестенсона одного и того же сигнала
взаимосвязаны линейными функциональными операторами, которые
полностью определяются своими ядрами Фурье, причем свойства
ядер Фурье зависят только от свойств базисов ДЭФ и ВКФ.
Выражения (4) и (6) представляют собой наиболее общую форму
преобразований Фурье в базисах ДЭФ и ВКФ. Равенство Парсеваля
при этом имеет следующий вид:
1
1
*
Ф
0
0
( ) ( )
( )
( ),
N
N
m
k
Х m X m Х k X k
−
−
∗
Φ
ΒΚ ΒΚ
=
=
=
∑
∑
(8)
где знаком «*» обозначены комплексно-сопряженные составляющие
спектров Фурье и Виленкина – Крестенсона. Ядра Фурье (5) и (7)
