Операторы взаимосвязи спектров в базисах комплексных экспоненциальных функций…
9
и
}
ВК
ВК
ВК
(3) ,
(4),
(5)
X Х X
, с номером 4 —
{
Ф Ф
Ф
(2),
(5),
(8)
X Х X
и
}
ВК
ВК
ВК
(6) ,
(7),
(8)
X
Х X
. Такое формирование групп спектральных
коэффициентов позволяет общее уравнение (4) преобразования спек-
тров привести к более простому виду:
ВК
Ф
ВК
Ф
ВК
Ф
(0)
(0);
(1)
(3);
(2)
(6);
X
X X
X X
X
=
=
=
ВК
Ф
Ф
Ф
(3)
(3,1) (1)
(3, 4) (4)
(3, 7) (7);
X
Ф Х Ф Х Ф Х
=
+
+
ВК
Ф
Ф
Ф
(4)
(4,1) (1)
(4, 4) (4)
(4, 7) (7);
X
Ф Х Ф Х Ф Х
=
+
+
ВК
Ф
Ф
Ф
(5)
(5,1) (1)
(5, 4) (4)
(5, 7) (7);
X
Ф Х Ф Х Ф Х
=
+
+
ВК
Ф
Ф
Ф
(6)
(6, 2) (2)
(6,5) (5)
(6,8) (8);
X
Ф Х Ф Х Ф Х
=
+
+
ВК
Ф
Ф
Ф
(7)
(7, 2) (2)
(7,5) (5)
(7,8) (8);
X
Ф Х Ф Х Ф Х
=
+
+
ВК
Ф
Ф
Ф
(8)
(8, 2) (2)
(8,5) (5)
(8,8) (8).
X
Ф Х Ф Х Ф Х
=
+
+
Суммы произведений комплексно-сопряженных пар спектральных
коэффициентов, принадлежащих одной группе, в этом случае также
равны между собой:
ВК ВК
Ф Ф
(0)
(0)
(0) (0);
X X
X X
∗
∗
=
ВК ВК
Ф Ф
(1)
(1)
(3) (3);
X X
X X
∗
∗
=
ВК ВК
Ф Ф
(2)
(2)
(6) (6);
X X
X X
∗
∗
=
ВК ВК
(3)
(3)
X X
∗
+
ВК ВК
(4)
(4)
X X
∗
+
ВК ВК
(5)
(5)
X X
∗
=
Ф Ф
(1) (1)
X X
∗
+
Ф Ф
(4) (4)
X X
∗
+
+
Ф Ф
(7) (7);
X X
∗
ВК ВК
(6)
(6)
X X
∗
+
ВК ВК
(7)
(7)
X X
∗
+
ВК ВК
(8)
(8)
X X
∗
=
Ф Ф
(2) (2)
X X
∗
+
Ф Ф
(5) (5)
X X
∗
+
+
Ф Ф
(8) (8).
X X
∗
Обобщая полученные частные результаты, приходим к выводу,
что в общем случае для произвольных
p
и
n
матрица
Ф
ядра Фурье
для систем ВКФ – Адамара имеет такое же количество нулевых и
ненулевых элементов, что и аналогичная ей матрица
Ф
для систем
ВКФ – Пэли. Структура матрицы
Ф
позволяет из всех спектральных
коэффициентов в базисах ДЭФ
{
}
Ф
( )
X m
и ВКФ – Адамара
{
}
ВК
( )
X k
образовать
( 1) 1
n p
− +
независимых групп, причем номера коэффи-
циентов Фурье, входящие в каждую группу, определяются так же,
как в системах ВКФ – Пэли, а соответствующие им номера спек-
тральных
коэффициентов
Виленкина – Крестенсона – Адамара
определяются по правилу образования независимых групп коэффи-
циентов в базисах ВКФ – Адамара при сдвиге сигнала, которое по-
ясняется в работе [12]. В соответствии с этим общее уравнение пре-
