Операторы взаимосвязи спектров в базисах комплексных экспоненциальных функций…
11
Равенство Парсеваля по группам означает, что мощность сигнала
одинаково распределяется по группам коэффициентов при его пред-
ставлении в базисах ДЭФ и ВКФ.
Особенности структуры ядра Фурье преобразования спектров ба-
зисов ДЭФ и ВКФ можно пояснить, используя геометрические пред-
ставления базисных функций в виде осей систем координат функци-
онального пространства сигналов [1, 2, 4]. Система координат Ви-
ленкина – Крестенсона развернута в пространстве относительно
комплексной экспоненциальной системы так, что многие оси коор-
динат одной системы становятся ортогональными осям другой си-
стемы. Им соответствуют нулевые значения элементов матрицы ядра.
Неортогональными оказываются только те оси, номера которых при-
надлежат к одной из независимых групп. Им соответствуют ненуле-
вые значения элементов матрицы ядра. Кроме того, у этих систем
есть
p
совпадающих осей: им соответствуют единичные значения
элементов матрицы ядра Фурье.
Реализация общего уравнения (4) преобразования спектров
Фурье и Виленкина – Крестенсона потребует выполнения по
2
2
n
N p
=
комплексных сложений и умножений. При использовании
полученных уравнений связи спектров (10) и (12) на анализ спектра
будет
затрачено только по
(
)
(
)
2
2
1
n
p p p
−
+
таких же операций. Вычисли-
тельная сложность алгоритмов преобразования спектров уменьшает-
ся более чем в
1
p
+
раз. Дальнейшее повышение их вычислительной
эффективности возможно за счет разработки специальных быстрых
процедур, подобных тем, что рассмотрены в работе [11].
Заключение.
Решена теоретическая задача обобщенного анали-
за спектра в базисах комплексных экспоненциальных функций и
функций Виленкина – Крестенсона для двух наиболее популярных
способов их упорядочения. Получены ядра Фурье для данных бази-
сов, составляющие математическую основу операторов взаимопре-
образования их спектров. Проведен анализ структуры этих операто-
ров и показана возможность разделения всех спектральных коэффи-
циентов на малое число независимых групп, что позволило
представить аналитическое описание процесса анализа спектра в
виде усеченной системы простых линейных алгебраических уравне-
ний. Это в свою очередь позволило получить эффективные вычис-
лительные алгоритмы взаимопреобразования спектров Фурье и Ви-
ленкина – Крестенсона. Предложенная при этом нетрадиционная
запись энергетических равенств Парсеваля по группам спектраль-
ных коэффициентов может оказаться полезной при решении задач
