Методы оценки погрешности измерения координат в комплексированных системах…
7
Самым простым критерием, используемым для алгоритма
триангуляции, является метод средней точки (
mid-point method
) [11].
В таком случае точка в трехмерном пространстве выбирается таким
образом, чтобы суммарное расстояние от нее до всех лучей было
наименьшим. Оценка данным методом может быть получена в явном
виде по методу наименьших квадратов [4, 12]. При использовании
проективных моделей устройств регистрации оценку можно полу-
чить путем решения системы уравнений методом наименьших квад-
ратов через разложение по сингулярным значениям (SVD), как пока-
зано в работах [1, 2, 12]. Такой метод при относительно низкой
вычислительной сложности не является оптимальным. Оптимальным
может быть алгоритм, который минимизирует расстояние Махала-
нобиса (
Mahalanobis distance
) в плоскостях изображений устройств
регистрации, т. е.
( )
(
)
(
)
2
т 1
=1
=1
ˆ
ˆ
ˆ
=
=
,
N
N
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
C
−
Σ
−
−
−
∑
∑
p
p
x
p p Σ p p
D
P E
(3)
где
( )
ˆ
ˆ
=
i
i
i
p
x
D
P E
— оценка координат скорректированного
положения изображения точки ˆ
x
в плоскости изображений
i
-го
устройства регистрации, а
1
i
−
p
Σ
— обратная (с учетом ранга) матри-
ца ковариации измерения координат для
,
i
p
причем
=
p
Σ
(
)
1 2
= diag ,
, ,
.
N
p p
p
Σ Σ Σ
…
Если отклонение измеренных координат изображения точки
i
p
от их истинного значения
i
p
соответствует нормальному распреде-
лению
( ,
),
i
p
0 Σ
N
то оценка координат точки ˆ ,
x
полученная в ре-
зультате минимизации критерия (3) будет асимптотически
несмещенной и эффективной в пределе для малых шумов, и такой
алгоритм дает оценку с минимальной дисперсией, соответствующей
неравенству Рао — Крамера [13]. Недостатком такого критерия
является то, что используемый функционал нелинеен и выражение
для оценки нельзя получить в явном виде. Для оценки координат
точки ˆ
x
используются итерационные алгоритмы нелинейной
минимизации (Ньютона, Левенберга — Маркуардта (Levenberg —
Marquardt)) [1]. Полученные оценки координат скорректированных
положений изображений точек ˆ , = 1, ,
i
i
N
p
удовлетворяющие эпипо-
лярному условию, в данном случае также являются асимптотически
несмещенными и эффективными.
Для определения зависимости погрешности оценки трехмерных
координат точки ˆ
x
от погрешности определения координат изобра-
жений точек
i
p
при использовании алгоритма триангуляции (2)
